Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14465 / 7039
↖ ↑ ↗
← N 71.077619°
W 21.082764°		 ← 396.16 m → N 71.077619°
W 21.071777°		 →
↑
396.15 m
↓
↑
396.15 m
↓
N 71.074057°
W 21.082764°		 ← 396.23 m →
156 953 m²		 N 71.074057°
W 21.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441452026367188 y=0.214828491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441452026367188 × 215)
    floor (0.441452026367188 × 32768)
    floor (14465.5)     		tx = 14465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214828491210938 × 215)
    floor (0.214828491210938 × 32768)
    floor (7039.5)     		ty = 7039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14465 / 7039 ti = "15/14465/7039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14465/7039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14465 ÷ 215
    14465 ÷ 32768     		x = 0.441436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7039 ÷ 215
    7039 ÷ 32768     		y = 0.214813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.11712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36796364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214813232421875 × 2 - 1) × π
    0.57037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7918813077977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36796364} λ = -0.36796364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7918813077977))-π/2
    2×atan(6.00073107595358)-π/2
    2×1.40566740584764-π/2
    2.81133481169528-1.57079632675     		φ = 1.24053848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36796364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.082764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24053848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.077619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14465 KachelY 7039 -0.36796364 1.24053848 -21.082764 71.077619
    Oben rechts KachelX + 1 14466 KachelY 7039 -0.36777189 1.24053848 -21.071777 71.077619
    Unten links KachelX 14465 KachelY + 1 7040 -0.36796364 1.24047630 -21.082764 71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 14466 KachelY + 1 7040 -0.36777189 1.24047630 -21.071777 71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24053848-1.24047630) × R
    6.21800000000228e-05 × 6371000     		dl = 396.148780000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24053848-1.24047630) × R
    6.21800000000228e-05 × 6371000     		dr = 396.148780000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36796364--0.36777189) × cos(1.24053848) × R
    0.000191749999999991 × 0.324286951606285 × 6371000     		do = 396.161668345069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36796364--0.36777189) × cos(1.24047630) × R
    0.000191749999999991 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 396.233524052437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24053848)-sin(1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324286951606285-0.324345770694955)×R²
    abs(-0.36777189--0.36796364)×5.88190886695594e-05×R²
    0.000191749999999991×5.88190886695594e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.88190886695594e-05×40589641000000     		ar = 156953.194424184m²