Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14464 / 11092
↖ ↑ ↗
← N 50.148746°
W 21.093750°		 ← 782.82 m → N 50.148746°
W 21.082764°		 →
↑
782.87 m
↓
↑
782.87 m
↓
N 50.141706°
W 21.093750°		 ← 782.94 m →
612 892 m²		 N 50.141706°
W 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441421508789062 y=0.338516235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441421508789062 × 215)
    floor (0.441421508789062 × 32768)
    floor (14464.5)     		tx = 14464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338516235351562 × 215)
    floor (0.338516235351562 × 32768)
    floor (11092.5)     		ty = 11092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14464 / 11092 ti = "15/14464/11092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14464/11092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14464 ÷ 215
    14464 ÷ 32768     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11092 ÷ 215
    11092 ÷ 32768     		y = 0.3385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3385009765625 × 2 - 1) × π
    0.322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01472829115735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01472829115735))-π/2
    2×atan(2.75861375578786)-π/2
    2×1.22302853360777-π/2
    2.44605706721553-1.57079632675     		φ = 0.87526074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87526074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.148746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14464 KachelY 11092 -0.36815539 0.87526074 -21.093750 50.148746
    Oben rechts KachelX + 1 14465 KachelY 11092 -0.36796364 0.87526074 -21.082764 50.148746
    Unten links KachelX 14464 KachelY + 1 11093 -0.36815539 0.87513786 -21.093750 50.141706
    Unten rechts KachelX + 1 14465 KachelY + 1 11093 -0.36796364 0.87513786 -21.082764 50.141706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87526074-0.87513786) × R
    0.000122879999999936 × 6371000     		dl = 782.868479999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87526074-0.87513786) × R
    0.000122879999999936 × 6371000     		dr = 782.868479999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36796364) × cos(0.87526074) × R
    0.000191750000000046 × 0.640796707083623 × 6371000     		do = 782.822408644295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36796364) × cos(0.87513786) × R
    0.000191750000000046 × 0.640891038525248 × 6371000     		du = 782.937647635893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87526074)-sin(0.87513786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640796707083623-0.640891038525248)×R²
    abs(-0.36796364--0.36815539)×9.43314416249619e-05×R²
    0.000191750000000046×9.43314416249619e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.43314416249619e-05×40589641000000     		ar = 612892.098423425m²