Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14462 / 21737
↖ ↑ ↗
← S 50.576260°
W 21.115722°		 ← 775.76 m → S 50.576260°
W 21.104737°		 →
↑
775.80 m
↓
↑
775.80 m
↓
S 50.583237°
W 21.115722°		 ← 775.65 m →
601 789 m²		 S 50.583237°
W 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441360473632812 y=0.663375854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441360473632812 × 215)
    floor (0.441360473632812 × 32768)
    floor (14462.5)     		tx = 14462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663375854492188 × 215)
    floor (0.663375854492188 × 32768)
    floor (21737.5)     		ty = 21737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14462 / 21737 ti = "15/14462/21737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14462/21737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14462 ÷ 215
    14462 ÷ 32768     		x = 0.44134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21737 ÷ 215
    21737 ÷ 32768     		y = 0.663360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36853888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36853888} λ = -0.36853888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02642489466464))-π/2
    2×atan(0.358285582300446)-π/2
    2×0.344037030992541-π/2
    0.688074061985082-1.57079632675     		φ = -0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36853888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.115722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14462 KachelY 21737 -0.36853888 -0.88272226 -21.115722 -50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 14463 KachelY 21737 -0.36834714 -0.88272226 -21.104737 -50.576260
    Unten links KachelX 14462 KachelY + 1 21738 -0.36853888 -0.88284403 -21.115722 -50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 14463 KachelY + 1 21738 -0.36834714 -0.88284403 -21.104737 -50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88272226--0.88284403) × R
    0.000121770000000021 × 6371000     		dl = 775.796670000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88272226--0.88284403) × R
    0.000121770000000021 × 6371000     		dr = 775.796670000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36853888--0.36834714) × cos(-0.88272226) × R
    0.000191739999999996 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 775.762321526248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36853888--0.36834714) × cos(-0.88284403) × R
    0.000191739999999996 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 775.647409818103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88272226)-sin(-0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.36834714--0.36853888)×9.40684422549021e-05×R²
    0.000191739999999996×9.40684422549021e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.40684422549021e-05×40589641000000     		ar = 601789.25243557m²