Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14461 / 14733
↖ ↑ ↗
← N 69.875562°
W100.563354°		 ← 210.15 m → N 69.875562°
W100.557861°		 →
↑
210.18 m
↓
↑
210.18 m
↓
N 69.873672°
W100.563354°		 ← 210.17 m →
44 171 m²		 N 69.873672°
W100.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220664978027344 y=0.224815368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220664978027344 × 216)
    floor (0.220664978027344 × 65536)
    floor (14461.5)     		tx = 14461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224815368652344 × 216)
    floor (0.224815368652344 × 65536)
    floor (14733.5)     		ty = 14733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14461 / 14733 ti = "16/14461/14733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14461/14733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14461 ÷ 216
    14461 ÷ 65536     		x = 0.220657348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14733 ÷ 216
    14733 ÷ 65536     		y = 0.224807739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220657348632812 × 2 - 1) × π
    -0.558685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75516164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224807739257812 × 2 - 1) × π
    0.550384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72908396929543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75516164} λ = -1.75516164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72908396929543))-π/2
    2×atan(5.63548926210277)-π/2
    2×1.39517747753077-π/2
    2.79035495506154-1.57079632675     		φ = 1.21955863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75516164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.563354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21955863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.875562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14461 KachelY 14733 -1.75516164 1.21955863 -100.563354 69.875562
    Oben rechts KachelX + 1 14462 KachelY 14733 -1.75506577 1.21955863 -100.557861 69.875562
    Unten links KachelX 14461 KachelY + 1 14734 -1.75516164 1.21952564 -100.563354 69.873672
    Unten rechts KachelX + 1 14462 KachelY + 1 14734 -1.75506577 1.21952564 -100.557861 69.873672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21955863-1.21952564) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dl = 210.179290000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21955863-1.21952564) × R
    3.29900000000105e-05 × 6371000     		dr = 210.179290000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75516164--1.75506577) × cos(1.21955863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344060203113108 × 6371000     		do = 210.147764205198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75516164--1.75506577) × cos(1.21952564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344091178806867 × 6371000     		du = 210.166683780113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21955863)-sin(1.21952564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344060203113108-0.344091178806867)×R²
    abs(-1.75506577--1.75516164)×3.09756937589278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09756937589278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09756937589278e-05×40589641000000     		ar = 44170.69613096m²