Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14458 / 11090
↖ ↑ ↗
← N 50.162825°
W 21.159668°		 ← 782.55 m → N 50.162825°
W 21.148682°		 →
↑
782.68 m
↓
↑
782.68 m
↓
N 50.155786°
W 21.159668°		 ← 782.67 m →
612 530 m²		 N 50.155786°
W 21.148682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441238403320312 y=0.338455200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441238403320312 × 215)
    floor (0.441238403320312 × 32768)
    floor (14458.5)     		tx = 14458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338455200195312 × 215)
    floor (0.338455200195312 × 32768)
    floor (11090.5)     		ty = 11090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14458 / 11090 ti = "15/14458/11090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14458/11090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14458 ÷ 215
    14458 ÷ 32768     		x = 0.44122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11090 ÷ 215
    11090 ÷ 32768     		y = 0.33843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.1175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36930587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33843994140625 × 2 - 1) × π
    0.3231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01511178635431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36930587} λ = -0.36930587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01511178635431))-π/2
    2×atan(2.75967187379209)-π/2
    2×1.22315138675048-π/2
    2.44630277350095-1.57079632675     		φ = 0.87550645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36930587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87550645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.162825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14458 KachelY 11090 -0.36930587 0.87550645 -21.159668 50.162825
    Oben rechts KachelX + 1 14459 KachelY 11090 -0.36911413 0.87550645 -21.148682 50.162825
    Unten links KachelX 14458 KachelY + 1 11091 -0.36930587 0.87538360 -21.159668 50.155786
    Unten rechts KachelX + 1 14459 KachelY + 1 11091 -0.36911413 0.87538360 -21.148682 50.155786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87550645-0.87538360) × R
    0.000122850000000008 × 6371000     		dl = 782.677350000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87550645-0.87538360) × R
    0.000122850000000008 × 6371000     		dr = 782.677350000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36930587--0.36911413) × cos(0.87550645) × R
    0.000191739999999996 × 0.640608053568081 × 6371000     		do = 782.55112896576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36930587--0.36911413) × cos(0.87538360) × R
    0.000191739999999996 × 0.640702381322078 × 6371000     		du = 782.666357442787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87550645)-sin(0.87538360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640608053568081-0.640702381322078)×R²
    abs(-0.36911413--0.36930587)×9.43277539972032e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43277539972032e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43277539972032e-05×40589641000000     		ar = 612530.137988809m²