Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14456 / 14312
↖ ↑ ↗
← N 70.656330°
W100.590820°		 ← 202.31 m → N 70.656330°
W100.585327°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
N 70.654511°
W100.590820°		 ← 202.33 m →
40 939 m²		 N 70.654511°
W100.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220588684082031 y=0.218391418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220588684082031 × 216)
    floor (0.220588684082031 × 65536)
    floor (14456.5)     		tx = 14456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218391418457031 × 216)
    floor (0.218391418457031 × 65536)
    floor (14312.5)     		ty = 14312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14456 / 14312 ti = "16/14456/14312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14456/14312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14456 ÷ 216
    14456 ÷ 65536     		x = 0.2205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14312 ÷ 216
    14312 ÷ 65536     		y = 0.2183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75564101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2183837890625 × 2 - 1) × π
    0.563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76944683877551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75564101} λ = -1.75564101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76944683877551))-π/2
    2×atan(5.86760673098624)-π/2
    2×1.40199096281128-π/2
    2.80398192562257-1.57079632675     		φ = 1.23318560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75564101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23318560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.656330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14456 KachelY 14312 -1.75564101 1.23318560 -100.590820 70.656330
    Oben rechts KachelX + 1 14457 KachelY 14312 -1.75554514 1.23318560 -100.585327 70.656330
    Unten links KachelX 14456 KachelY + 1 14313 -1.75564101 1.23315384 -100.590820 70.654511
    Unten rechts KachelX + 1 14457 KachelY + 1 14313 -1.75554514 1.23315384 -100.585327 70.654511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23318560-1.23315384) × R
    3.17600000001583e-05 × 6371000     		dl = 202.342960001009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23318560-1.23315384) × R
    3.17600000001583e-05 × 6371000     		dr = 202.342960001009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75564101--1.75554514) × cos(1.23318560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331233643946428 × 6371000     		do = 202.313458735008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75564101--1.75554514) × cos(1.23315384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331263610888162 × 6371000     		du = 202.331762176524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23318560)-sin(1.23315384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331233643946428-0.331263610888162)×R²
    abs(-1.75554514--1.75564101)×2.9966941734183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9966941734183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9966941734183e-05×40589641000000     		ar = 40938.5558781655m²