Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14455 / 10375
↖ ↑ ↗
← N 76.670923°
W100.596314°		 ← 140.83 m → N 76.670923°
W100.590820°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
N 76.669656°
W100.596314°		 ← 140.84 m →
19 838 m²		 N 76.669656°
W100.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220573425292969 y=0.158317565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220573425292969 × 216)
    floor (0.220573425292969 × 65536)
    floor (14455.5)     		tx = 14455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158317565917969 × 216)
    floor (0.158317565917969 × 65536)
    floor (10375.5)     		ty = 10375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14455 / 10375 ti = "16/14455/10375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14455/10375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14455 ÷ 216
    14455 ÷ 65536     		x = 0.220565795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10375 ÷ 216
    10375 ÷ 65536     		y = 0.158309936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220565795898438 × 2 - 1) × π
    -0.558868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75573689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158309936523438 × 2 - 1) × π
    0.683380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14690198638383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75573689} λ = -1.75573689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14690198638383))-π/2
    2×atan(8.55830354385793)-π/2
    2×1.45447818597151-π/2
    2.90895637194303-1.57079632675     		φ = 1.33816005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75573689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.596314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33816005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.670923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14455 KachelY 10375 -1.75573689 1.33816005 -100.596314 76.670923
    Oben rechts KachelX + 1 14456 KachelY 10375 -1.75564101 1.33816005 -100.590820 76.670923
    Unten links KachelX 14455 KachelY + 1 10376 -1.75573689 1.33813794 -100.596314 76.669656
    Unten rechts KachelX + 1 14456 KachelY + 1 10376 -1.75564101 1.33813794 -100.590820 76.669656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33816005-1.33813794) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33816005-1.33813794) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75573689--1.75564101) × cos(1.33816005) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.230543582468715 × 6371000     		do = 140.82788855575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75573689--1.75564101) × cos(1.33813794) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.23056509681319 × 6371000     		du = 140.841030624914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33816005)-sin(1.33813794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230543582468715-0.23056509681319)×R²
    abs(-1.75564101--1.75573689)×2.15143444757537e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.15143444757537e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.15143444757537e-05×40589641000000     		ar = 19838.3377233351m²