Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14454 / 10376
↖ ↑ ↗
← N 76.669656°
W100.601807°		 ← 140.83 m → N 76.669656°
W100.596314°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
N 76.668390°
W100.601807°		 ← 140.84 m →
19 838 m²		 N 76.668390°
W100.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220558166503906 y=0.158332824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220558166503906 × 216)
    floor (0.220558166503906 × 65536)
    floor (14454.5)     		tx = 14454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158332824707031 × 216)
    floor (0.158332824707031 × 65536)
    floor (10376.5)     		ty = 10376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14454 / 10376 ti = "16/14454/10376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14454/10376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14454 ÷ 216
    14454 ÷ 65536     		x = 0.220550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10376 ÷ 216
    10376 ÷ 65536     		y = 0.1583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.55889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75583276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    0.683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14680611258459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75583276} λ = -1.75583276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14680611258459))-π/2
    2×atan(8.55748306611392)-π/2
    2×1.4544671339112-π/2
    2.90893426782239-1.57079632675     		φ = 1.33813794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75583276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33813794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.669656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14454 KachelY 10376 -1.75583276 1.33813794 -100.601807 76.669656
    Oben rechts KachelX + 1 14455 KachelY 10376 -1.75573689 1.33813794 -100.596314 76.669656
    Unten links KachelX 14454 KachelY + 1 10377 -1.75583276 1.33811583 -100.601807 76.668390
    Unten rechts KachelX + 1 14455 KachelY + 1 10377 -1.75573689 1.33811583 -100.596314 76.668390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33813794-1.33811583) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33813794-1.33811583) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75583276--1.75573689) × cos(1.33813794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23056509681319 × 6371000     		do = 140.82634132236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75583276--1.75573689) × cos(1.33811583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230586611044954 × 6371000     		du = 140.839481952002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33813794)-sin(1.33811583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23056509681319-0.230586611044954)×R²
    abs(-1.75573689--1.75583276)×2.15142317635253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15142317635253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15142317635253e-05×40589641000000     		ar = 19838.1196744163m²