Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14453 / 9613
↖ ↑ ↗
← N 59.461826°
W 21.214599°		 ← 620.70 m → N 59.461826°
W 21.203614°		 →
↑
620.73 m
↓
↑
620.73 m
↓
N 59.456244°
W 21.214599°		 ← 620.80 m →
385 315 m²		 N 59.456244°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441085815429688 y=0.293380737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441085815429688 × 215)
    floor (0.441085815429688 × 32768)
    floor (14453.5)     		tx = 14453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293380737304688 × 215)
    floor (0.293380737304688 × 32768)
    floor (9613.5)     		ty = 9613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14453 / 9613 ti = "15/14453/9613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14453/9613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14453 ÷ 215
    14453 ÷ 32768     		x = 0.441070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9613 ÷ 215
    9613 ÷ 32768     		y = 0.293365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293365478515625 × 2 - 1) × π
    0.41326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2983229893096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37026461} λ = -0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2983229893096))-π/2
    2×atan(3.66314837469882)-π/2
    2×1.30430048585785-π/2
    2.6086009717157-1.57079632675     		φ = 1.03780464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03780464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.461826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14453 KachelY 9613 -0.37026461 1.03780464 -21.214599 59.461826
    Oben rechts KachelX + 1 14454 KachelY 9613 -0.37007287 1.03780464 -21.203614 59.461826
    Unten links KachelX 14453 KachelY + 1 9614 -0.37026461 1.03770721 -21.214599 59.456244
    Unten rechts KachelX + 1 14454 KachelY + 1 9614 -0.37007287 1.03770721 -21.203614 59.456244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03780464-1.03770721) × R
    9.7430000000065e-05 × 6371000     		dl = 620.726530000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03780464-1.03770721) × R
    9.7430000000065e-05 × 6371000     		dr = 620.726530000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37026461--0.37007287) × cos(1.03780464) × R
    0.000191739999999996 × 0.508112323565797 × 6371000     		do = 620.69758604053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37026461--0.37007287) × cos(1.03770721) × R
    0.000191739999999996 × 0.508196236718038 × 6371000     		du = 620.800092294792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03780464)-sin(1.03770721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508112323565797-0.508196236718038)×R²
    abs(-0.37007287--0.37026461)×8.39131522408776e-05×R²
    0.000191739999999996×8.39131522408776e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.39131522408776e-05×40589641000000     		ar = 385315.273243454m²