Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14453 / 21114
↖ ↑ ↗
← S 46.027482°
W 21.214599°		 ← 848.16 m → S 46.027482°
W 21.203614°		 →
↑
848.17 m
↓
↑
848.17 m
↓
S 46.035109°
W 21.214599°		 ← 848.04 m →
719 332 m²		 S 46.035109°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441085815429688 y=0.644363403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441085815429688 × 215)
    floor (0.441085815429688 × 32768)
    floor (14453.5)     		tx = 14453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644363403320312 × 215)
    floor (0.644363403320312 × 32768)
    floor (21114.5)     		ty = 21114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14453 / 21114 ti = "15/14453/21114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14453/21114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14453 ÷ 215
    14453 ÷ 32768     		x = 0.441070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21114 ÷ 215
    21114 ÷ 32768     		y = 0.64434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.2886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.906966140811462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37026461} λ = -0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906966140811462))-π/2
    2×atan(0.403747280201311)-π/2
    2×0.383732611042532-π/2
    0.767465222085064-1.57079632675     		φ = -0.80333110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80333110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.027482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14453 KachelY 21114 -0.37026461 -0.80333110 -21.214599 -46.027482
    Oben rechts KachelX + 1 14454 KachelY 21114 -0.37007287 -0.80333110 -21.203614 -46.027482
    Unten links KachelX 14453 KachelY + 1 21115 -0.37026461 -0.80346423 -21.214599 -46.035109
    Unten rechts KachelX + 1 14454 KachelY + 1 21115 -0.37007287 -0.80346423 -21.203614 -46.035109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80333110--0.80346423) × R
    0.000133130000000037 × 6371000     		dl = 848.171230000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80333110--0.80346423) × R
    0.000133130000000037 × 6371000     		dr = 848.171230000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37026461--0.37007287) × cos(-0.80333110) × R
    0.000191739999999996 × 0.694313263487598 × 6371000     		do = 848.156099774007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37026461--0.37007287) × cos(-0.80346423) × R
    0.000191739999999996 × 0.694217447280994 × 6371000     		du = 848.039053039683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80333110)-sin(-0.80346423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694313263487598-0.694217447280994)×R²
    abs(-0.37007287--0.37026461)×9.58162066045931e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58162066045931e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58162066045931e-05×40589641000000     		ar = 719331.965603767m²