Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14453 / 14320
↖ ↑ ↗
← N 70.641769°
W100.607300°		 ← 202.46 m → N 70.641769°
W100.601807°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 70.639948°
W100.607300°		 ← 202.48 m →
40 994 m²		 N 70.639948°
W100.601807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220542907714844 y=0.218513488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220542907714844 × 216)
    floor (0.220542907714844 × 65536)
    floor (14453.5)     		tx = 14453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218513488769531 × 216)
    floor (0.218513488769531 × 65536)
    floor (14320.5)     		ty = 14320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14453 / 14320 ti = "16/14453/14320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14453/14320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14453 ÷ 216
    14453 ÷ 65536     		x = 0.220535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14320 ÷ 216
    14320 ÷ 65536     		y = 0.218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75592863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75592863} λ = -1.75592863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76867984838159))-π/2
    2×atan(5.86310805842813)-π/2
    2×1.40186389032552-π/2
    2.80372778065105-1.57079632675     		φ = 1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75592863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14453 KachelY 14320 -1.75592863 1.23293145 -100.607300 70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 14454 KachelY 14320 -1.75583276 1.23293145 -100.601807 70.641769
    Unten links KachelX 14453 KachelY + 1 14321 -1.75592863 1.23289967 -100.607300 70.639948
    Unten rechts KachelX + 1 14454 KachelY + 1 14321 -1.75583276 1.23289967 -100.601807 70.639948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23293145-1.23289967) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23293145-1.23289967) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75592863--1.75583276) × cos(1.23293145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 202.459920889498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75592863--1.75583276) × cos(1.23289967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331503419301145 × 6371000     		du = 202.478234222317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23293145)-sin(1.23289967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331503419301145)×R²
    abs(-1.75583276--1.75592863)×2.99831360726643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99831360726643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99831360726643e-05×40589641000000     		ar = 40993.9910747862m²