Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14453 / 10377
↖ ↑ ↗
← N 76.668390°
W100.607300°		 ← 140.84 m → N 76.668390°
W100.601807°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
N 76.667123°
W100.607300°		 ← 140.85 m →
19 831 m²		 N 76.667123°
W100.601807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220542907714844 y=0.158348083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220542907714844 × 216)
    floor (0.220542907714844 × 65536)
    floor (14453.5)     		tx = 14453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158348083496094 × 216)
    floor (0.158348083496094 × 65536)
    floor (10377.5)     		ty = 10377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14453 / 10377 ti = "16/14453/10377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14453/10377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14453 ÷ 216
    14453 ÷ 65536     		x = 0.220535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10377 ÷ 216
    10377 ÷ 65536     		y = 0.158340454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75592863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158340454101562 × 2 - 1) × π
    0.683319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14671023878535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75592863} λ = -1.75592863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14671023878535))-π/2
    2×atan(8.55666266702845)-π/2
    2×1.45445608081978-π/2
    2.90891216163955-1.57079632675     		φ = 1.33811583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75592863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33811583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.668390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14453 KachelY 10377 -1.75592863 1.33811583 -100.607300 76.668390
    Oben rechts KachelX + 1 14454 KachelY 10377 -1.75583276 1.33811583 -100.601807 76.668390
    Unten links KachelX 14453 KachelY + 1 10378 -1.75592863 1.33809373 -100.607300 76.667123
    Unten rechts KachelX + 1 14454 KachelY + 1 10378 -1.75583276 1.33809373 -100.601807 76.667123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33811583-1.33809373) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33811583-1.33809373) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75592863--1.75583276) × cos(1.33811583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230586611044954 × 6371000     		do = 140.839481952002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75592863--1.75583276) × cos(1.33809373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230608115433528 × 6371000     		du = 140.852616569544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33811583)-sin(1.33809373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230586611044954-0.230608115433528)×R²
    abs(-1.75583276--1.75592863)×2.15043885737343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15043885737343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15043885737343e-05×40589641000000     		ar = 19830.9969754517m²