Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14452 / 21117
↖ ↑ ↗
← S 46.050361°
W 21.225586°		 ← 847.85 m → S 46.050361°
W 21.214599°		 →
↑
847.79 m
↓
↑
847.79 m
↓
S 46.057985°
W 21.225586°		 ← 847.73 m →
718 748 m²		 S 46.057985°
W 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441055297851562 y=0.644454956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441055297851562 × 215)
    floor (0.441055297851562 × 32768)
    floor (14452.5)     		tx = 14452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644454956054688 × 215)
    floor (0.644454956054688 × 32768)
    floor (21117.5)     		ty = 21117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14452 / 21117 ti = "15/14452/21117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14452/21117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14452 ÷ 215
    14452 ÷ 32768     		x = 0.4410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21117 ÷ 215
    21117 ÷ 32768     		y = 0.644439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.28887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.907541383606903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37045636} λ = -0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907541383606903))-π/2
    2×atan(0.40351509427524)-π/2
    2×0.383532953028243-π/2
    0.767065906056486-1.57079632675     		φ = -0.80373042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80373042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.050361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14452 KachelY 21117 -0.37045636 -0.80373042 -21.225586 -46.050361
    Oben rechts KachelX + 1 14453 KachelY 21117 -0.37026461 -0.80373042 -21.214599 -46.050361
    Unten links KachelX 14452 KachelY + 1 21118 -0.37045636 -0.80386349 -21.225586 -46.057985
    Unten rechts KachelX + 1 14453 KachelY + 1 21118 -0.37026461 -0.80386349 -21.214599 -46.057985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80373042--0.80386349) × R
    0.000133070000000068 × 6371000     		dl = 847.788970000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80373042--0.80386349) × R
    0.000133070000000068 × 6371000     		dr = 847.788970000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37045636--0.37026461) × cos(-0.80373042) × R
    0.000191749999999991 × 0.694025828353902 × 6371000     		do = 847.849192430847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37045636--0.37026461) × cos(-0.80386349) × R
    0.000191749999999991 × 0.693930018449317 × 6371000     		du = 847.732147290869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80373042)-sin(-0.80386349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694025828353902-0.693930018449317)×R²
    abs(-0.37026461--0.37045636)×9.58099045841321e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58099045841321e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58099045841321e-05×40589641000000     		ar = 718747.579838157m²