Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14450 / 10578
↖ ↑ ↗
← N 76.411392°
W100.623779°		 ← 143.50 m → N 76.411392°
W100.618286°		 →
↑
143.54 m
↓
↑
143.54 m
↓
N 76.410101°
W100.623779°		 ← 143.52 m →
20 599 m²		 N 76.410101°
W100.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220497131347656 y=0.161415100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220497131347656 × 216)
    floor (0.220497131347656 × 65536)
    floor (14450.5)     		tx = 14450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161415100097656 × 216)
    floor (0.161415100097656 × 65536)
    floor (10578.5)     		ty = 10578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14450 / 10578 ti = "16/14450/10578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14450/10578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14450 ÷ 216
    14450 ÷ 65536     		x = 0.220489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10578 ÷ 216
    10578 ÷ 65536     		y = 0.161407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.55902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75621625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161407470703125 × 2 - 1) × π
    0.67718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12743960513809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75621625} λ = -1.75621625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12743960513809))-π/2
    2×atan(8.39334898850934)-π/2
    2×1.45221335187205-π/2
    2.9044267037441-1.57079632675     		φ = 1.33363038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75621625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33363038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.411392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14450 KachelY 10578 -1.75621625 1.33363038 -100.623779 76.411392
    Oben rechts KachelX + 1 14451 KachelY 10578 -1.75612038 1.33363038 -100.618286 76.411392
    Unten links KachelX 14450 KachelY + 1 10579 -1.75621625 1.33360785 -100.623779 76.410101
    Unten rechts KachelX + 1 14451 KachelY + 1 10579 -1.75612038 1.33360785 -100.618286 76.410101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33363038-1.33360785) × R
    2.25300000000761e-05 × 6371000     		dl = 143.538630000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33363038-1.33360785) × R
    2.25300000000761e-05 × 6371000     		dr = 143.538630000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75621625--1.75612038) × cos(1.33363038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234948852015132 × 6371000     		do = 143.503885386379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75621625--1.75612038) × cos(1.33360785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23497075128977 × 6371000     		du = 143.5172611955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33363038)-sin(1.33360785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234948852015132-0.23497075128977)×R²
    abs(-1.75612038--1.75621625)×2.18992746380542e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18992746380542e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18992746380542e-05×40589641000000     		ar = 20599.3110815099m²