Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14449 / 21487
↖ ↑ ↗
← S 48.799627°
W 21.258545°		 ← 804.64 m → S 48.799627°
W 21.247559°		 →
↑
804.59 m
↓
↑
804.59 m
↓
S 48.806863°
W 21.258545°		 ← 804.53 m →
647 365 m²		 S 48.806863°
W 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440963745117188 y=0.655746459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440963745117188 × 215)
    floor (0.440963745117188 × 32768)
    floor (14449.5)     		tx = 14449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655746459960938 × 215)
    floor (0.655746459960938 × 32768)
    floor (21487.5)     		ty = 21487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14449 / 21487 ti = "15/14449/21487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14449/21487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14449 ÷ 215
    14449 ÷ 32768     		x = 0.440948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21487 ÷ 215
    21487 ÷ 32768     		y = 0.655731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.11810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37103160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655731201171875 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.978487995044586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37103160} λ = -0.37103160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978487995044586))-π/2
    2×atan(0.375879000319409)-π/2
    2×0.359541077897793-π/2
    0.719082155795586-1.57079632675     		φ = -0.85171417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37103160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.258545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85171417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.799627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14449 KachelY 21487 -0.37103160 -0.85171417 -21.258545 -48.799627
    Oben rechts KachelX + 1 14450 KachelY 21487 -0.37083986 -0.85171417 -21.247559 -48.799627
    Unten links KachelX 14449 KachelY + 1 21488 -0.37103160 -0.85184046 -21.258545 -48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 14450 KachelY + 1 21488 -0.37083986 -0.85184046 -21.247559 -48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85171417--0.85184046) × R
    0.000126289999999973 × 6371000     		dl = 804.59358999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85171417--0.85184046) × R
    0.000126289999999973 × 6371000     		dr = 804.59358999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37103160--0.37083986) × cos(-0.85171417) × R
    0.000191739999999996 × 0.658694354543587 × 6371000     		do = 804.644911846516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37103160--0.37083986) × cos(-0.85184046) × R
    0.000191739999999996 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 804.528828955235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85171417)-sin(-0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658694354543587-0.658599327353307)×R²
    abs(-0.37083986--0.37103160)×9.50271902799837e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50271902799837e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50271902799837e-05×40589641000000     		ar = 647365.439383209m²