Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14448 / 9607
↖ ↑ ↗
← N 59.495303°
W 21.269531°		 ← 620.12 m → N 59.495303°
W 21.258545°		 →
↑
620.15 m
↓
↑
620.15 m
↓
N 59.489726°
W 21.269531°		 ← 620.22 m →
384 598 m²		 N 59.489726°
W 21.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440933227539062 y=0.293197631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440933227539062 × 215)
    floor (0.440933227539062 × 32768)
    floor (14448.5)     		tx = 14448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293197631835938 × 215)
    floor (0.293197631835938 × 32768)
    floor (9607.5)     		ty = 9607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14448 / 9607 ti = "15/14448/9607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14448/9607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14448 ÷ 215
    14448 ÷ 32768     		x = 0.44091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9607 ÷ 215
    9607 ÷ 32768     		y = 0.293182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37122335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293182373046875 × 2 - 1) × π
    0.41363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29947347490048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37122335} λ = -0.37122335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29947347490048))-π/2
    2×atan(3.66736519935405)-π/2
    2×1.30459262902555-π/2
    2.60918525805111-1.57079632675     		φ = 1.03838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37122335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.495303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14448 KachelY 9607 -0.37122335 1.03838893 -21.269531 59.495303
    Oben rechts KachelX + 1 14449 KachelY 9607 -0.37103160 1.03838893 -21.258545 59.495303
    Unten links KachelX 14448 KachelY + 1 9608 -0.37122335 1.03829159 -21.269531 59.489726
    Unten rechts KachelX + 1 14449 KachelY + 1 9608 -0.37103160 1.03829159 -21.258545 59.489726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03838893-1.03829159) × R
    9.73399999999458e-05 × 6371000     		dl = 620.153139999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03838893-1.03829159) × R
    9.73399999999458e-05 × 6371000     		dr = 620.153139999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37122335--0.37103160) × cos(1.03838893) × R
    0.000191749999999991 × 0.507608993251146 × 6371000     		do = 620.115069808555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37122335--0.37103160) × cos(1.03829159) × R
    0.000191749999999991 × 0.507692857778521 × 6371000     		du = 620.217522006878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03838893)-sin(1.03829159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507608993251146-0.507692857778521)×R²
    abs(-0.37103160--0.37122335)×8.38645273742999e-05×R²
    0.000191749999999991×8.38645273742999e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.38645273742999e-05×40589641000000     		ar = 384598.076032127m²