Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14448 / 14323
↖ ↑ ↗
← N 70.636305°
W100.634766°		 ← 202.51 m → N 70.636305°
W100.629273°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
N 70.634484°
W100.634766°		 ← 202.53 m →
41 018 m²		 N 70.634484°
W100.629273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220466613769531 y=0.218559265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220466613769531 × 216)
    floor (0.220466613769531 × 65536)
    floor (14448.5)     		tx = 14448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218559265136719 × 216)
    floor (0.218559265136719 × 65536)
    floor (14323.5)     		ty = 14323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14448 / 14323 ti = "16/14448/14323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14448/14323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14448 ÷ 216
    14448 ÷ 65536     		x = 0.220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14323 ÷ 216
    14323 ÷ 65536     		y = 0.218551635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218551635742188 × 2 - 1) × π
    0.562896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76839222698387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75640800} λ = -1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76839222698387))-π/2
    2×atan(5.86142194558607)-π/2
    2×1.40181621443122-π/2
    2.80363242886245-1.57079632675     		φ = 1.23283610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23283610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.636305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14448 KachelY 14323 -1.75640800 1.23283610 -100.634766 70.636305
    Oben rechts KachelX + 1 14449 KachelY 14323 -1.75631213 1.23283610 -100.629273 70.636305
    Unten links KachelX 14448 KachelY + 1 14324 -1.75640800 1.23280431 -100.634766 70.634484
    Unten rechts KachelX + 1 14449 KachelY + 1 14324 -1.75631213 1.23280431 -100.629273 70.634484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23283610-1.23280431) × R
    3.1790000000198e-05 × 6371000     		dl = 202.534090001262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23283610-1.23280431) × R
    3.1790000000198e-05 × 6371000     		dr = 202.534090001262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75640800--1.75631213) × cos(1.23283610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331563394003166 × 6371000     		do = 202.51486603682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75640800--1.75631213) × cos(1.23280431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331593385568842 × 6371000     		du = 202.533184518339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23283610)-sin(1.23280431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331563394003166-0.331593385568842)×R²
    abs(-1.75631213--1.75640800)×2.99915656766792e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99915656766792e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99915656766792e-05×40589641000000     		ar = 41018.0191664162m²