Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14447 / 21486
↖ ↑ ↗
← S 48.792390°
W 21.280518°		 ← 804.80 m → S 48.792390°
W 21.269531°		 →
↑
804.72 m
↓
↑
804.72 m
↓
S 48.799627°
W 21.280518°		 ← 804.69 m →
647 595 m²		 S 48.799627°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440902709960938 y=0.655715942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440902709960938 × 215)
    floor (0.440902709960938 × 32768)
    floor (14447.5)     		tx = 14447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655715942382812 × 215)
    floor (0.655715942382812 × 32768)
    floor (21486.5)     		ty = 21486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14447 / 21486 ti = "15/14447/21486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14447/21486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14447 ÷ 215
    14447 ÷ 32768     		x = 0.440887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21486 ÷ 215
    21486 ÷ 32768     		y = 0.65570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.11822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37141510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37141510} λ = -0.37141510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978296247446106))-π/2
    2×atan(0.375951081125479)-π/2
    2×0.359604233983608-π/2
    0.719208467967217-1.57079632675     		φ = -0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37141510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.280518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14447 KachelY 21486 -0.37141510 -0.85158786 -21.280518 -48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 14448 KachelY 21486 -0.37122335 -0.85158786 -21.269531 -48.792390
    Unten links KachelX 14447 KachelY + 1 21487 -0.37141510 -0.85171417 -21.280518 -48.799627
    Unten rechts KachelX + 1 14448 KachelY + 1 21487 -0.37122335 -0.85171417 -21.269531 -48.799627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85158786--0.85171417) × R
    0.000126310000000074 × 6371000     		dl = 804.721010000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85158786--0.85171417) × R
    0.000126310000000074 × 6371000     		dr = 804.721010000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37141510--0.37122335) × cos(-0.85158786) × R
    0.000191749999999991 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 804.802971756656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37141510--0.37122335) × cos(-0.85171417) × R
    0.000191749999999991 × 0.658694354543587 × 6371000     		du = 804.686877263822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85158786)-sin(-0.85171417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658694354543587)×R²
    abs(-0.37122335--0.37141510)×9.5031731204287e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5031731204287e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5031731204287e-05×40589641000000     		ar = 647595.149305439m²