Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14446 / 21485
↖ ↑ ↗
← S 48.785152°
W 21.291504°		 ← 804.92 m → S 48.785152°
W 21.280518°		 →
↑
804.85 m
↓
↑
804.85 m
↓
S 48.792390°
W 21.291504°		 ← 804.80 m →
647 791 m²		 S 48.792390°
W 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440872192382812 y=0.655685424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440872192382812 × 215)
    floor (0.440872192382812 × 32768)
    floor (14446.5)     		tx = 14446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655685424804688 × 215)
    floor (0.655685424804688 × 32768)
    floor (21485.5)     		ty = 21485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14446 / 21485 ti = "15/14446/21485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14446/21485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14446 ÷ 215
    14446 ÷ 32768     		x = 0.44085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21485 ÷ 215
    21485 ÷ 32768     		y = 0.655670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.31134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.978104499847626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37160685} λ = -0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978104499847626))-π/2
    2×atan(0.376023175754196)-π/2
    2×0.359667399180787-π/2
    0.719334798361573-1.57079632675     		φ = -0.85146153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85146153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.785152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14446 KachelY 21485 -0.37160685 -0.85146153 -21.291504 -48.785152
    Oben rechts KachelX + 1 14447 KachelY 21485 -0.37141510 -0.85146153 -21.280518 -48.785152
    Unten links KachelX 14446 KachelY + 1 21486 -0.37160685 -0.85158786 -21.291504 -48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 14447 KachelY + 1 21486 -0.37141510 -0.85158786 -21.280518 -48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85146153--0.85158786) × R
    0.000126329999999952 × 6371000     		dl = 804.848429999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85146153--0.85158786) × R
    0.000126329999999952 × 6371000     		dr = 804.848429999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37160685--0.37141510) × cos(-0.85146153) × R
    0.000191749999999991 × 0.658884422540411 × 6371000     		do = 804.919071788911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37160685--0.37141510) × cos(-0.85158786) × R
    0.000191749999999991 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 804.802971756656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85146153)-sin(-0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658884422540411-0.658789386274791)×R²
    abs(-0.37141510--0.37160685)×9.50362656197967e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50362656197967e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50362656197967e-05×40589641000000     		ar = 647791.130603591m²