Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14445 / 21845
↖ ↑ ↗
← S 51.323746°
W 21.302490°		 ← 763.39 m → S 51.323746°
W 21.291504°		 →
↑
763.37 m
↓
↑
763.37 m
↓
S 51.330612°
W 21.302490°		 ← 763.27 m →
582 705 m²		 S 51.330612°
W 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440841674804688 y=0.666671752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440841674804688 × 215)
    floor (0.440841674804688 × 32768)
    floor (14445.5)     		tx = 14445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666671752929688 × 215)
    floor (0.666671752929688 × 32768)
    floor (21845.5)     		ty = 21845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14445 / 21845 ti = "15/14445/21845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14445/21845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14445 ÷ 215
    14445 ÷ 32768     		x = 0.440826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21845 ÷ 215
    21845 ÷ 32768     		y = 0.666656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.11834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37179859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.33331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04713363530051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37179859} λ = -0.37179859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04713363530051))-π/2
    2×atan(0.350942237249154)-π/2
    2×0.337513982225313-π/2
    0.675027964450625-1.57079632675     		φ = -0.89576836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37179859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.302490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89576836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.323746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14445 KachelY 21845 -0.37179859 -0.89576836 -21.302490 -51.323746
    Oben rechts KachelX + 1 14446 KachelY 21845 -0.37160685 -0.89576836 -21.291504 -51.323746
    Unten links KachelX 14445 KachelY + 1 21846 -0.37179859 -0.89588818 -21.302490 -51.330612
    Unten rechts KachelX + 1 14446 KachelY + 1 21846 -0.37160685 -0.89588818 -21.291504 -51.330612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89576836--0.89588818) × R
    0.000119819999999993 × 6371000     		dl = 763.373219999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89576836--0.89588818) × R
    0.000119819999999993 × 6371000     		dr = 763.373219999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37179859--0.37160685) × cos(-0.89576836) × R
    0.000191739999999996 × 0.624919150354495 × 6371000     		do = 763.385948550616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37179859--0.37160685) × cos(-0.89588818) × R
    0.000191739999999996 × 0.62482560365596 × 6371000     		du = 763.271674191838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89576836)-sin(-0.89588818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624919150354495-0.62482560365596)×R²
    abs(-0.37160685--0.37179859)×9.35466985347855e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35466985347855e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35466985347855e-05×40589641000000     		ar = 582704.773352651m²