Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14445 / 18549
↖ ↑ ↗
← N 61.299264°
W100.651245°		 ← 293.32 m → N 61.299264°
W100.645752°		 →
↑
293.32 m
↓
↑
293.32 m
↓
N 61.296626°
W100.651245°		 ← 293.35 m →
86 041 m²		 N 61.296626°
W100.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220420837402344 y=0.283042907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220420837402344 × 216)
    floor (0.220420837402344 × 65536)
    floor (14445.5)     		tx = 14445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283042907714844 × 216)
    floor (0.283042907714844 × 65536)
    floor (18549.5)     		ty = 18549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14445 / 18549 ti = "16/14445/18549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14445/18549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14445 ÷ 216
    14445 ÷ 65536     		x = 0.220413208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18549 ÷ 216
    18549 ÷ 65536     		y = 0.283035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220413208007812 × 2 - 1) × π
    -0.559173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75669562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283035278320312 × 2 - 1) × π
    0.433929443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36322955139516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75669562} λ = -1.75669562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36322955139516))-π/2
    2×atan(3.90879659885226)-π/2
    2×1.32033515898277-π/2
    2.64067031796555-1.57079632675     		φ = 1.06987399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75669562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06987399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.299264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14445 KachelY 18549 -1.75669562 1.06987399 -100.651245 61.299264
    Oben rechts KachelX + 1 14446 KachelY 18549 -1.75659975 1.06987399 -100.645752 61.299264
    Unten links KachelX 14445 KachelY + 1 18550 -1.75669562 1.06982795 -100.651245 61.296626
    Unten rechts KachelX + 1 14446 KachelY + 1 18550 -1.75659975 1.06982795 -100.645752 61.296626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06987399-1.06982795) × R
    4.60399999999694e-05 × 6371000     		dl = 293.320839999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06987399-1.06982795) × R
    4.60399999999694e-05 × 6371000     		dr = 293.320839999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75669562--1.75659975) × cos(1.06987399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480234761251954 × 6371000     		do = 293.321518901557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75669562--1.75659975) × cos(1.06982795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480275144268423 × 6371000     		du = 293.346184354132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06987399)-sin(1.06982795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480234761251954-0.480275144268423)×R²
    abs(-1.75659975--1.75669562)×4.03830164685814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03830164685814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03830164685814e-05×40589641000000     		ar = 86040.9317749852m²