Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14439 / 14393
↖ ↑ ↗
← N 70.508408°
W100.684204°		 ← 203.82 m → N 70.508408°
W100.678711°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 70.506575°
W100.684204°		 ← 203.84 m →
41 542 m²		 N 70.506575°
W100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220329284667969 y=0.219627380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220329284667969 × 216)
    floor (0.220329284667969 × 65536)
    floor (14439.5)     		tx = 14439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219627380371094 × 216)
    floor (0.219627380371094 × 65536)
    floor (14393.5)     		ty = 14393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14439 / 14393 ti = "16/14439/14393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14439/14393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14439 ÷ 216
    14439 ÷ 65536     		x = 0.220321655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14393 ÷ 216
    14393 ÷ 65536     		y = 0.219619750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220321655273438 × 2 - 1) × π
    -0.559356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75727087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219619750976562 × 2 - 1) × π
    0.560760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76168106103706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75727087} λ = -1.75727087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76168106103706))-π/2
    2×atan(5.82221667391658)-π/2
    2×1.40070009724183-π/2
    2.80140019448365-1.57079632675     		φ = 1.23060387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75727087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.684204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23060387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.508408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14439 KachelY 14393 -1.75727087 1.23060387 -100.684204 70.508408
    Oben rechts KachelX + 1 14440 KachelY 14393 -1.75717499 1.23060387 -100.678711 70.508408
    Unten links KachelX 14439 KachelY + 1 14394 -1.75727087 1.23057188 -100.684204 70.506575
    Unten rechts KachelX + 1 14440 KachelY + 1 14394 -1.75717499 1.23057188 -100.678711 70.506575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23060387-1.23057188) × R
    3.19899999998707e-05 × 6371000     		dl = 203.808289999176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23060387-1.23057188) × R
    3.19899999998707e-05 × 6371000     		dr = 203.808289999176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75727087--1.75717499) × cos(1.23060387) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333668525504879 × 6371000     		do = 203.821912633939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75727087--1.75717499) × cos(1.23057188) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.333698682002156 × 6371000     		du = 203.840333774933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23060387)-sin(1.23057188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333668525504879-0.333698682002156)×R²
    abs(-1.75717499--1.75727087)×3.01564972773338e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01564972773338e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01564972773338e-05×40589641000000     		ar = 41542.4726727633m²