Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14439 / 11183
↖ ↑ ↗
← N 49.503810°
W 21.368408°		 ← 793.33 m → N 49.503810°
W 21.357422°		 →
↑
793.38 m
↓
↑
793.38 m
↓
N 49.496675°
W 21.368408°		 ← 793.45 m →
629 458 m²		 N 49.496675°
W 21.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440658569335938 y=0.341293334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440658569335938 × 215)
    floor (0.440658569335938 × 32768)
    floor (14439.5)     		tx = 14439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341293334960938 × 215)
    floor (0.341293334960938 × 32768)
    floor (11183.5)     		ty = 11183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14439 / 11183 ti = "15/14439/11183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14439/11183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14439 ÷ 215
    14439 ÷ 32768     		x = 0.440643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11183 ÷ 215
    11183 ÷ 32768     		y = 0.341278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341278076171875 × 2 - 1) × π
    0.31744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.997279259695648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37294908} λ = -0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997279259695648))-π/2
    2×atan(2.71089614135406)-π/2
    2×1.21740039777807-π/2
    2.43480079555613-1.57079632675     		φ = 0.86400447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86400447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.503810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14439 KachelY 11183 -0.37294908 0.86400447 -21.368408 49.503810
    Oben rechts KachelX + 1 14440 KachelY 11183 -0.37275733 0.86400447 -21.357422 49.503810
    Unten links KachelX 14439 KachelY + 1 11184 -0.37294908 0.86387994 -21.368408 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 14440 KachelY + 1 11184 -0.37275733 0.86387994 -21.357422 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86400447-0.86387994) × R
    0.000124530000000012 × 6371000     		dl = 793.380630000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86400447-0.86387994) × R
    0.000124530000000012 × 6371000     		dr = 793.380630000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37294908--0.37275733) × cos(0.86400447) × R
    0.000191749999999991 × 0.649397487302138 × 6371000     		do = 793.329459339629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37294908--0.37275733) × cos(0.86387994) × R
    0.000191749999999991 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 793.445140876069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86400447)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649397487302138-0.649492180998693)×R²
    abs(-0.37275733--0.37294908)×9.4693696555459e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4693696555459e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4693696555459e-05×40589641000000     		ar = 629458.116806604m²