Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14438 / 10202
↖ ↑ ↗
← N 76.888254°
W100.689697°		 ← 138.56 m → N 76.888254°
W100.684204°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 76.887007°
W100.689697°		 ← 138.57 m →
19 201 m²		 N 76.887007°
W100.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220314025878906 y=0.155677795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220314025878906 × 216)
    floor (0.220314025878906 × 65536)
    floor (14438.5)     		tx = 14438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155677795410156 × 216)
    floor (0.155677795410156 × 65536)
    floor (10202.5)     		ty = 10202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14438 / 10202 ti = "16/14438/10202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14438/10202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14438 ÷ 216
    14438 ÷ 65536     		x = 0.220306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10202 ÷ 216
    10202 ÷ 65536     		y = 0.155670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155670166015625 × 2 - 1) × π
    0.68865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16348815365237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75736674} λ = -1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16348815365237))-π/2
    2×atan(8.70143673214806)-π/2
    2×1.45637475275466-π/2
    2.91274950550932-1.57079632675     		φ = 1.34195318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34195318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.888254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14438 KachelY 10202 -1.75736674 1.34195318 -100.689697 76.888254
    Oben rechts KachelX + 1 14439 KachelY 10202 -1.75727087 1.34195318 -100.684204 76.888254
    Unten links KachelX 14438 KachelY + 1 10203 -1.75736674 1.34193143 -100.689697 76.887007
    Unten rechts KachelX + 1 14439 KachelY + 1 10203 -1.75727087 1.34193143 -100.684204 76.887007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34195318-1.34193143) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34195318-1.34193143) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75736674--1.75727087) × cos(1.34195318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226850982144461 × 6371000     		do = 138.557805506322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75736674--1.75727087) × cos(1.34193143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22687216505699 × 6371000     		du = 138.570743770228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34195318)-sin(1.34193143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226850982144461-0.22687216505699)×R²
    abs(-1.75727087--1.75736674)×2.11829125296437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11829125296437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11829125296437e-05×40589641000000     		ar = 19200.7476140757m²