Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14436 / 21852
↖ ↑ ↗
← S 51.371780°
W 21.401367°		 ← 762.63 m → S 51.371780°
W 21.390381°		 →
↑
762.54 m
↓
↑
762.54 m
↓
S 51.378638°
W 21.401367°		 ← 762.51 m →
581 493 m²		 S 51.378638°
W 21.390381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440567016601562 y=0.666885375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440567016601562 × 215)
    floor (0.440567016601562 × 32768)
    floor (14436.5)     		tx = 14436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666885375976562 × 215)
    floor (0.666885375976562 × 32768)
    floor (21852.5)     		ty = 21852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14436 / 21852 ti = "15/14436/21852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14436/21852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14436 ÷ 215
    14436 ÷ 32768     		x = 0.4405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21852 ÷ 215
    21852 ÷ 32768     		y = 0.6668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04847586848987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37352432} λ = -0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04847586848987))-π/2
    2×atan(0.35047150691638)-π/2
    2×0.337094808321218-π/2
    0.674189616642436-1.57079632675     		φ = -0.89660671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89660671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.371780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14436 KachelY 21852 -0.37352432 -0.89660671 -21.401367 -51.371780
    Oben rechts KachelX + 1 14437 KachelY 21852 -0.37333257 -0.89660671 -21.390381 -51.371780
    Unten links KachelX 14436 KachelY + 1 21853 -0.37352432 -0.89672640 -21.401367 -51.378638
    Unten rechts KachelX + 1 14437 KachelY + 1 21853 -0.37333257 -0.89672640 -21.390381 -51.378638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89660671--0.89672640) × R
    0.000119690000000006 × 6371000     		dl = 762.544990000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89660671--0.89672640) × R
    0.000119690000000006 × 6371000     		dr = 762.544990000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37352432--0.37333257) × cos(-0.89660671) × R
    0.000191750000000046 × 0.624264439804078 × 6371000     		do = 762.625942044107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37352432--0.37333257) × cos(-0.89672640) × R
    0.000191750000000046 × 0.624170931936729 × 6371000     		du = 762.51170916317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89660671)-sin(-0.89672640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624264439804078-0.624170931936729)×R²
    abs(-0.37333257--0.37352432)×9.3507867348408e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3507867348408e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3507867348408e-05×40589641000000     		ar = 581493.03818817m²