Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14436 / 21134
↖ ↑ ↗
← S 46.179830°
W 21.401367°		 ← 845.86 m → S 46.179830°
W 21.390381°		 →
↑
845.75 m
↓
↑
845.75 m
↓
S 46.187437°
W 21.401367°		 ← 845.74 m →
715 336 m²		 S 46.187437°
W 21.390381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440567016601562 y=0.644973754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440567016601562 × 215)
    floor (0.440567016601562 × 32768)
    floor (14436.5)     		tx = 14436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644973754882812 × 215)
    floor (0.644973754882812 × 32768)
    floor (21134.5)     		ty = 21134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14436 / 21134 ti = "15/14436/21134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14436/21134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14436 ÷ 215
    14436 ÷ 32768     		x = 0.4405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21134 ÷ 215
    21134 ÷ 32768     		y = 0.64495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.2899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.910801092781067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37352432} λ = -0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910801092781067))-π/2
    2×atan(0.402201893908964)-π/2
    2×0.382403119093903-π/2
    0.764806238187805-1.57079632675     		φ = -0.80599009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80599009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.179830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14436 KachelY 21134 -0.37352432 -0.80599009 -21.401367 -46.179830
    Oben rechts KachelX + 1 14437 KachelY 21134 -0.37333257 -0.80599009 -21.390381 -46.179830
    Unten links KachelX 14436 KachelY + 1 21135 -0.37352432 -0.80612284 -21.401367 -46.187437
    Unten rechts KachelX + 1 14437 KachelY + 1 21135 -0.37333257 -0.80612284 -21.390381 -46.187437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80599009--0.80612284) × R
    0.000132750000000015 × 6371000     		dl = 845.750250000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80599009--0.80612284) × R
    0.000132750000000015 × 6371000     		dr = 845.750250000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37352432--0.37333257) × cos(-0.80599009) × R
    0.000191750000000046 × 0.692397208206227 × 6371000     		do = 845.859606135352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37352432--0.37333257) × cos(-0.80612284) × R
    0.000191750000000046 × 0.692301420785968 × 6371000     		du = 845.742588463108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80599009)-sin(-0.80612284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692397208206227-0.692301420785968)×R²
    abs(-0.37333257--0.37352432)×9.57874202591746e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57874202591746e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57874202591746e-05×40589641000000     		ar = 715336.490542077m²