Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14433 / 11105
↖ ↑ ↗
← N 50.057139°
W 21.434326°		 ← 784.28 m → N 50.057139°
W 21.423340°		 →
↑
784.40 m
↓
↑
784.40 m
↓
N 50.050085°
W 21.434326°		 ← 784.40 m →
615 233 m²		 N 50.050085°
W 21.423340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440475463867188 y=0.338912963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440475463867188 × 215)
    floor (0.440475463867188 × 32768)
    floor (14433.5)     		tx = 14433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338912963867188 × 215)
    floor (0.338912963867188 × 32768)
    floor (11105.5)     		ty = 11105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14433 / 11105 ti = "15/14433/11105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14433/11105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14433 ÷ 215
    14433 ÷ 32768     		x = 0.440460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11105 ÷ 215
    11105 ÷ 32768     		y = 0.338897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.11907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37409956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338897705078125 × 2 - 1) × π
    0.32220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01223557237711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37409956} λ = -0.37409956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01223557237711))-π/2
    2×atan(2.75174587088043)-π/2
    2×1.22222910627251-π/2
    2.44445821254502-1.57079632675     		φ = 0.87366189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37409956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.434326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87366189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.057139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14433 KachelY 11105 -0.37409956 0.87366189 -21.434326 50.057139
    Oben rechts KachelX + 1 14434 KachelY 11105 -0.37390782 0.87366189 -21.423340 50.057139
    Unten links KachelX 14433 KachelY + 1 11106 -0.37409956 0.87353877 -21.434326 50.050085
    Unten rechts KachelX + 1 14434 KachelY + 1 11106 -0.37390782 0.87353877 -21.423340 50.050085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87366189-0.87353877) × R
    0.000123120000000032 × 6371000     		dl = 784.397520000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87366189-0.87353877) × R
    0.000123120000000032 × 6371000     		dr = 784.397520000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37409956--0.37390782) × cos(0.87366189) × R
    0.000191739999999996 × 0.642023341627955 × 6371000     		do = 784.280010241756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37409956--0.37390782) × cos(0.87353877) × R
    0.000191739999999996 × 0.642117731030057 × 6371000     		du = 784.3953140266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87366189)-sin(0.87353877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642023341627955-0.642117731030057)×R²
    abs(-0.37390782--0.37409956)×9.43894021024905e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43894021024905e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43894021024905e-05×40589641000000     		ar = 615232.517797987m²