Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14431 / 9695
↖ ↑ ↗
← N 59.000970°
W 21.456299°		 ← 629.17 m → N 59.000970°
W 21.445312°		 →
↑
629.26 m
↓
↑
629.26 m
↓
N 58.995311°
W 21.456299°		 ← 629.28 m →
395 948 m²		 N 58.995311°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440414428710938 y=0.295883178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440414428710938 × 215)
    floor (0.440414428710938 × 32768)
    floor (14431.5)     		tx = 14431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295883178710938 × 215)
    floor (0.295883178710938 × 32768)
    floor (9695.5)     		ty = 9695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14431 / 9695 ti = "15/14431/9695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14431/9695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14431 ÷ 215
    14431 ÷ 32768     		x = 0.440399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9695 ÷ 215
    9695 ÷ 32768     		y = 0.295867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295867919921875 × 2 - 1) × π
    0.40826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28259968623422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37448306} λ = -0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28259968623422))-π/2
    2×atan(3.60600202460044)-π/2
    2×1.3002787564461-π/2
    2.6005575128922-1.57079632675     		φ = 1.02976119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02976119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.000970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14431 KachelY 9695 -0.37448306 1.02976119 -21.456299 59.000970
    Oben rechts KachelX + 1 14432 KachelY 9695 -0.37429131 1.02976119 -21.445312 59.000970
    Unten links KachelX 14431 KachelY + 1 9696 -0.37448306 1.02966242 -21.456299 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 14432 KachelY + 1 9696 -0.37429131 1.02966242 -21.445312 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02976119-1.02966242) × R
    9.87700000001368e-05 × 6371000     		dl = 629.263670000872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02976119-1.02966242) × R
    9.87700000001368e-05 × 6371000     		dr = 629.263670000872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37448306--0.37429131) × cos(1.02976119) × R
    0.000191749999999991 × 0.515023561859502 × 6371000     		do = 629.17299784234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37448306--0.37429131) × cos(1.02966242) × R
    0.000191749999999991 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 629.276422753701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02976119)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515023561859502-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.37429131--0.37448306)×8.466076328284e-05×R²
    0.000191749999999991×8.466076328284e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.466076328284e-05×40589641000000     		ar = 395948.250778965m²