Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14431 / 21173
↖ ↑ ↗
← S 46.475700°
W 21.456299°		 ← 841.30 m → S 46.475700°
W 21.445312°		 →
↑
841.23 m
↓
↑
841.23 m
↓
S 46.483265°
W 21.456299°		 ← 841.18 m →
707 672 m²		 S 46.483265°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440414428710938 y=0.646163940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440414428710938 × 215)
    floor (0.440414428710938 × 32768)
    floor (14431.5)     		tx = 14431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646163940429688 × 215)
    floor (0.646163940429688 × 32768)
    floor (21173.5)     		ty = 21173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14431 / 21173 ti = "15/14431/21173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14431/21173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14431 ÷ 215
    14431 ÷ 32768     		x = 0.440399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21173 ÷ 215
    21173 ÷ 32768     		y = 0.646148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.29229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918279249121796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37448306} λ = -0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918279249121796))-π/2
    2×atan(0.399205383417173)-π/2
    2×0.379821175174781-π/2
    0.759642350349562-1.57079632675     		φ = -0.81115398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81115398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.475700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14431 KachelY 21173 -0.37448306 -0.81115398 -21.456299 -46.475700
    Oben rechts KachelX + 1 14432 KachelY 21173 -0.37429131 -0.81115398 -21.445312 -46.475700
    Unten links KachelX 14431 KachelY + 1 21174 -0.37448306 -0.81128602 -21.456299 -46.483265
    Unten rechts KachelX + 1 14432 KachelY + 1 21174 -0.37429131 -0.81128602 -21.445312 -46.483265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81115398--0.81128602) × R
    0.00013204 × 6371000     		dl = 841.22684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81115398--0.81128602) × R
    0.00013204 × 6371000     		dr = 841.22684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37448306--0.37429131) × cos(-0.81115398) × R
    0.000191749999999991 × 0.688662161131689 × 6371000     		do = 841.296726028254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37448306--0.37429131) × cos(-0.81128602) × R
    0.000191749999999991 × 0.688566415253978 × 6371000     		du = 841.179759106017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81115398)-sin(-0.81128602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688662161131689-0.688566415253978)×R²
    abs(-0.37429131--0.37448306)×9.57458777104403e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57458777104403e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57458777104403e-05×40589641000000     		ar = 707672.189509443m²