Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14430 / 21726
↖ ↑ ↗
← S 50.499452°
W 21.467285°		 ← 777.07 m → S 50.499452°
W 21.456299°		 →
↑
777.01 m
↓
↑
777.01 m
↓
S 50.506440°
W 21.467285°		 ← 776.95 m →
603 742 m²		 S 50.506440°
W 21.456299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440383911132812 y=0.663040161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440383911132812 × 215)
    floor (0.440383911132812 × 32768)
    floor (14430.5)     		tx = 14430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663040161132812 × 215)
    floor (0.663040161132812 × 32768)
    floor (21726.5)     		ty = 21726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14430 / 21726 ti = "15/14430/21726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14430/21726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14430 ÷ 215
    14430 ÷ 32768     		x = 0.44036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21726 ÷ 215
    21726 ÷ 32768     		y = 0.66302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37467481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.3260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02431567108136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37467481} λ = -0.37467481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02431567108136))-π/2
    2×atan(0.359042084235583)-π/2
    2×0.344707308573052-π/2
    0.689414617146104-1.57079632675     		φ = -0.88138171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37467481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88138171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.499452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14430 KachelY 21726 -0.37467481 -0.88138171 -21.467285 -50.499452
    Oben rechts KachelX + 1 14431 KachelY 21726 -0.37448306 -0.88138171 -21.456299 -50.499452
    Unten links KachelX 14430 KachelY + 1 21727 -0.37467481 -0.88150367 -21.467285 -50.506440
    Unten rechts KachelX + 1 14431 KachelY + 1 21727 -0.37448306 -0.88150367 -21.456299 -50.506440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88138171--0.88150367) × R
    0.000121959999999977 × 6371000     		dl = 777.007159999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88138171--0.88150367) × R
    0.000121959999999977 × 6371000     		dr = 777.007159999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37467481--0.37448306) × cos(-0.88138171) × R
    0.000191750000000046 × 0.636085598721362 × 6371000     		do = 777.067133757953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37467481--0.37448306) × cos(-0.88150367) × R
    0.000191750000000046 × 0.635991487398567 × 6371000     		du = 776.952163672157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88138171)-sin(-0.88150367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636085598721362-0.635991487398567)×R²
    abs(-0.37448306--0.37467481)×9.41113227951318e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41113227951318e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41113227951318e-05×40589641000000     		ar = 603742.061188311m²