Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14429 / 9693
↖ ↑ ↗
← N 59.012284°
W 21.478272°		 ← 628.97 m → N 59.012284°
W 21.467285°		 →
↑
629.01 m
↓
↑
629.01 m
↓
N 59.006627°
W 21.478272°		 ← 629.07 m →
395 658 m²		 N 59.006627°
W 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440353393554688 y=0.295822143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440353393554688 × 215)
    floor (0.440353393554688 × 32768)
    floor (14429.5)     		tx = 14429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295822143554688 × 215)
    floor (0.295822143554688 × 32768)
    floor (9693.5)     		ty = 9693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14429 / 9693 ti = "15/14429/9693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14429/9693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14429 ÷ 215
    14429 ÷ 32768     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9693 ÷ 215
    9693 ÷ 32768     		y = 0.295806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295806884765625 × 2 - 1) × π
    0.40838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28298318143118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28298318143118))-π/2
    2×atan(3.60738517425577)-π/2
    2×1.30037749474759-π/2
    2.60075498949517-1.57079632675     		φ = 1.02995866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02995866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.012284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14429 KachelY 9693 -0.37486656 1.02995866 -21.478272 59.012284
    Oben rechts KachelX + 1 14430 KachelY 9693 -0.37467481 1.02995866 -21.467285 59.012284
    Unten links KachelX 14429 KachelY + 1 9694 -0.37486656 1.02985993 -21.478272 59.006627
    Unten rechts KachelX + 1 14430 KachelY + 1 9694 -0.37467481 1.02985993 -21.467285 59.006627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02995866-1.02985993) × R
    9.87299999999358e-05 × 6371000     		dl = 629.008829999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02995866-1.02985993) × R
    9.87299999999358e-05 × 6371000     		dr = 629.008829999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(1.02995866) × R
    0.000191749999999991 × 0.514854285270247 × 6371000     		do = 628.966202916799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(1.02985993) × R
    0.000191749999999991 × 0.514938921788707 × 6371000     		du = 629.069598209734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02995866)-sin(1.02985993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514854285270247-0.514938921788707)×R²
    abs(-0.37467481--0.37486656)×8.4636518460357e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4636518460357e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4636518460357e-05×40589641000000     		ar = 395657.814003461m²