Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14429 / 21291
↖ ↑ ↗
← S 47.361153°
W 21.478272°		 ← 827.51 m → S 47.361153°
W 21.467285°		 →
↑
827.40 m
↓
↑
827.40 m
↓
S 47.368594°
W 21.478272°		 ← 827.39 m →
684 633 m²		 S 47.368594°
W 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440353393554688 y=0.649765014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440353393554688 × 215)
    floor (0.440353393554688 × 32768)
    floor (14429.5)     		tx = 14429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649765014648438 × 215)
    floor (0.649765014648438 × 32768)
    floor (21291.5)     		ty = 21291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14429 / 21291 ti = "15/14429/21291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14429/21291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14429 ÷ 215
    14429 ÷ 32768     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21291 ÷ 215
    21291 ÷ 32768     		y = 0.649749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.29949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.940905465742462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940905465742462))-π/2
    2×atan(0.390274295318904)-π/2
    2×0.372094134648101-π/2
    0.744188269296202-1.57079632675     		φ = -0.82660806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82660806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.361153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14429 KachelY 21291 -0.37486656 -0.82660806 -21.478272 -47.361153
    Oben rechts KachelX + 1 14430 KachelY 21291 -0.37467481 -0.82660806 -21.467285 -47.361153
    Unten links KachelX 14429 KachelY + 1 21292 -0.37486656 -0.82673793 -21.478272 -47.368594
    Unten rechts KachelX + 1 14430 KachelY + 1 21292 -0.37467481 -0.82673793 -21.467285 -47.368594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82660806--0.82673793) × R
    0.000129869999999976 × 6371000     		dl = 827.40176999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82660806--0.82673793) × R
    0.000129869999999976 × 6371000     		dr = 827.40176999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(-0.82660806) × R
    0.000191749999999991 × 0.67737489190075 × 6371000     		do = 827.507754910422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(-0.82673793) × R
    0.000191749999999991 × 0.677279348882573 × 6371000     		du = 827.391035809354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82660806)-sin(-0.82673793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67737489190075-0.677279348882573)×R²
    abs(-0.37467481--0.37486656)×9.55430181767136e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55430181767136e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55430181767136e-05×40589641000000     		ar = 684633.095268308m²