Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14429 / 20385
↖ ↑ ↗
← S 40.187267°
W 21.478272°		 ← 933.26 m → S 40.187267°
W 21.467285°		 →
↑
933.22 m
↓
↑
933.22 m
↓
S 40.195659°
W 21.478272°		 ← 933.14 m →
870 885 m²		 S 40.195659°
W 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440353393554688 y=0.622116088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440353393554688 × 215)
    floor (0.440353393554688 × 32768)
    floor (14429.5)     		tx = 14429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622116088867188 × 215)
    floor (0.622116088867188 × 32768)
    floor (20385.5)     		ty = 20385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14429 / 20385 ti = "15/14429/20385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14429/20385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14429 ÷ 215
    14429 ÷ 32768     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20385 ÷ 215
    20385 ÷ 32768     		y = 0.622100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.24420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.767182141519379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767182141519379))-π/2
    2×atan(0.464319613577704)-π/2
    2×0.43469810255827-π/2
    0.86939620511654-1.57079632675     		φ = -0.70140012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70140012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.187267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14429 KachelY 20385 -0.37486656 -0.70140012 -21.478272 -40.187267
    Oben rechts KachelX + 1 14430 KachelY 20385 -0.37467481 -0.70140012 -21.467285 -40.187267
    Unten links KachelX 14429 KachelY + 1 20386 -0.37486656 -0.70154660 -21.478272 -40.195659
    Unten rechts KachelX + 1 14430 KachelY + 1 20386 -0.37467481 -0.70154660 -21.467285 -40.195659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70140012--0.70154660) × R
    0.00014648000000006 × 6371000     		dl = 933.224080000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70140012--0.70154660) × R
    0.00014648000000006 × 6371000     		dr = 933.224080000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(-0.70140012) × R
    0.000191749999999991 × 0.763939455837211 × 6371000     		do = 933.258423874333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37467481) × cos(-0.70154660) × R
    0.000191749999999991 × 0.763844925866415 × 6371000     		du = 933.142942351706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70140012)-sin(-0.70154660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763939455837211-0.763844925866415)×R²
    abs(-0.37467481--0.37486656)×9.45299707965086e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45299707965086e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45299707965086e-05×40589641000000     		ar = 870885.350511053m²