Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14426 / 9557
↖ ↑ ↗
← N 59.772992°
W 21.511231°		 ← 615.01 m → N 59.772992°
W 21.500244°		 →
↑
615.06 m
↓
↑
615.06 m
↓
N 59.767460°
W 21.511231°		 ← 615.11 m →
378 295 m²		 N 59.767460°
W 21.500244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440261840820312 y=0.291671752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440261840820312 × 215)
    floor (0.440261840820312 × 32768)
    floor (14426.5)     		tx = 14426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291671752929688 × 215)
    floor (0.291671752929688 × 32768)
    floor (9557.5)     		ty = 9557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14426 / 9557 ti = "15/14426/9557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14426/9557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14426 ÷ 215
    14426 ÷ 32768     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9557 ÷ 215
    9557 ÷ 32768     		y = 0.291656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291656494140625 × 2 - 1) × π
    0.41668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30906085482449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30906085482449))-π/2
    2×atan(3.70269471094812)-π/2
    2×1.30701591720582-π/2
    2.61403183441164-1.57079632675     		φ = 1.04323551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04323551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.772992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14426 KachelY 9557 -0.37544180 1.04323551 -21.511231 59.772992
    Oben rechts KachelX + 1 14427 KachelY 9557 -0.37525005 1.04323551 -21.500244 59.772992
    Unten links KachelX 14426 KachelY + 1 9558 -0.37544180 1.04313897 -21.511231 59.767460
    Unten rechts KachelX + 1 14427 KachelY + 1 9558 -0.37525005 1.04313897 -21.500244 59.767460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04323551-1.04313897) × R
    9.65399999999228e-05 × 6371000     		dl = 615.056339999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04323551-1.04313897) × R
    9.65399999999228e-05 × 6371000     		dr = 615.056339999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37525005) × cos(1.04323551) × R
    0.000191749999999991 × 0.503427294912518 × 6371000     		do = 615.006542986427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37525005) × cos(1.04313897) × R
    0.000191749999999991 × 0.503510706755464 × 6371000     		du = 615.108442167685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04323551)-sin(1.04313897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503427294912518-0.503510706755464)×R²
    abs(-0.37525005--0.37544180)×8.34118429456909e-05×R²
    0.000191749999999991×8.34118429456909e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.34118429456909e-05×40589641000000     		ar = 378295.010567609m²