Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14425 / 14409
↖ ↑ ↗
← N 70.479061°
W100.761108°		 ← 204.10 m → N 70.479061°
W100.755615°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 70.477225°
W100.761108°		 ← 204.11 m →
41 663 m²		 N 70.477225°
W100.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220115661621094 y=0.219871520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220115661621094 × 216)
    floor (0.220115661621094 × 65536)
    floor (14425.5)     		tx = 14425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219871520996094 × 216)
    floor (0.219871520996094 × 65536)
    floor (14409.5)     		ty = 14409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14425 / 14409 ti = "16/14425/14409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14425/14409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14425 ÷ 216
    14425 ÷ 65536     		x = 0.220108032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14409 ÷ 216
    14409 ÷ 65536     		y = 0.219863891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220108032226562 × 2 - 1) × π
    -0.559783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75861310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219863891601562 × 2 - 1) × π
    0.560272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76014708024922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75861310} λ = -1.75861310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76014708024922))-π/2
    2×atan(5.81329235201529)-π/2
    2×1.40044399156891-π/2
    2.80088798313782-1.57079632675     		φ = 1.23009166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75861310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.761108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23009166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.479061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14425 KachelY 14409 -1.75861310 1.23009166 -100.761108 70.479061
    Oben rechts KachelX + 1 14426 KachelY 14409 -1.75851723 1.23009166 -100.755615 70.479061
    Unten links KachelX 14425 KachelY + 1 14410 -1.75861310 1.23005962 -100.761108 70.477225
    Unten rechts KachelX + 1 14426 KachelY + 1 14410 -1.75851723 1.23005962 -100.755615 70.477225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23009166-1.23005962) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23009166-1.23005962) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75861310--1.75851723) × cos(1.23009166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33415133719698 × 6371000     		do = 204.095550089057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75861310--1.75851723) × cos(1.23005962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334181535348133 × 6371000     		du = 204.113994750458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23009166)-sin(1.23005962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33415133719698-0.334181535348133)×R²
    abs(-1.75851723--1.75861310)×3.01981511532379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01981511532379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01981511532379e-05×40589641000000     		ar = 41663.2622263573m²