Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14424 / 14425
↖ ↑ ↗
← N 70.449670°
W100.766601°		 ← 204.39 m → N 70.449670°
W100.761108°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
N 70.447832°
W100.766601°		 ← 204.41 m →
41 776 m²		 N 70.447832°
W100.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220100402832031 y=0.220115661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220100402832031 × 216)
    floor (0.220100402832031 × 65536)
    floor (14424.5)     		tx = 14424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220115661621094 × 216)
    floor (0.220115661621094 × 65536)
    floor (14425.5)     		ty = 14425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14424 / 14425 ti = "16/14424/14425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14424/14425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14424 ÷ 216
    14424 ÷ 65536     		x = 0.2200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14425 ÷ 216
    14425 ÷ 65536     		y = 0.220108032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75870897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220108032226562 × 2 - 1) × π
    0.559783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75861309946138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75870897} λ = -1.75870897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75861309946138))-π/2
    2×atan(5.80438170935782)-π/2
    2×1.40018751534891-π/2
    2.80037503069783-1.57079632675     		φ = 1.22957870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75870897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.766601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22957870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.449670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14424 KachelY 14425 -1.75870897 1.22957870 -100.766601 70.449670
    Oben rechts KachelX + 1 14425 KachelY 14425 -1.75861310 1.22957870 -100.761108 70.449670
    Unten links KachelX 14424 KachelY + 1 14426 -1.75870897 1.22954662 -100.766601 70.447832
    Unten rechts KachelX + 1 14425 KachelY + 1 14426 -1.75861310 1.22954662 -100.761108 70.447832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22957870-1.22954662) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22957870-1.22954662) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75870897--1.75861310) × cos(1.22957870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334634767982467 × 6371000     		do = 204.390823700474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75870897--1.75861310) × cos(1.22954662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334664998331029 × 6371000     		du = 204.409288027659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22957870)-sin(1.22954662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334634767982467-0.334664998331029)×R²
    abs(-1.75861310--1.75870897)×3.02303485624211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02303485624211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02303485624211e-05×40589641000000     		ar = 41775.6268131994m²