Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14424 / 14407
↖ ↑ ↗
← N 70.482731°
W100.766601°		 ← 204.06 m → N 70.482731°
W100.761108°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
N 70.480896°
W100.766601°		 ← 204.08 m →
41 643 m²		 N 70.480896°
W100.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220100402832031 y=0.219841003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220100402832031 × 216)
    floor (0.220100402832031 × 65536)
    floor (14424.5)     		tx = 14424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219841003417969 × 216)
    floor (0.219841003417969 × 65536)
    floor (14407.5)     		ty = 14407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14424 / 14407 ti = "16/14424/14407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14424/14407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14424 ÷ 216
    14424 ÷ 65536     		x = 0.2200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14407 ÷ 216
    14407 ÷ 65536     		y = 0.219833374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75870897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219833374023438 × 2 - 1) × π
    0.560333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7603388278477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75870897} λ = -1.75870897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7603388278477))-π/2
    2×atan(5.81440714373896)-π/2
    2×1.40047602503271-π/2
    2.80095205006543-1.57079632675     		φ = 1.23015572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75870897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.766601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23015572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.482731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14424 KachelY 14407 -1.75870897 1.23015572 -100.766601 70.482731
    Oben rechts KachelX + 1 14425 KachelY 14407 -1.75861310 1.23015572 -100.761108 70.482731
    Unten links KachelX 14424 KachelY + 1 14408 -1.75870897 1.23012369 -100.766601 70.480896
    Unten rechts KachelX + 1 14425 KachelY + 1 14408 -1.75861310 1.23012369 -100.761108 70.480896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23015572-1.23012369) × R
    3.20299999998497e-05 × 6371000     		dl = 204.063129999042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23015572-1.23012369) × R
    3.20299999998497e-05 × 6371000     		dr = 204.063129999042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75870897--1.75861310) × cos(1.23015572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334090958716441 × 6371000     		do = 204.058671651572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75870897--1.75861310) × cos(1.23012369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334121148128101 × 6371000     		du = 204.077110974998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23015572)-sin(1.23012369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334090958716441-0.334121148128101)×R²
    abs(-1.75861310--1.75870897)×3.01894116604973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01894116604973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01894116604973e-05×40589641000000     		ar = 41642.7326372038m²