Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14424 / 11146
↖ ↑ ↗
← N 49.767074°
W 21.533203°		 ← 789.01 m → N 49.767074°
W 21.522217°		 →
↑
789.11 m
↓
↑
789.11 m
↓
N 49.759977°
W 21.533203°		 ← 789.13 m →
622 664 m²		 N 49.759977°
W 21.522217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440200805664062 y=0.340164184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440200805664062 × 215)
    floor (0.440200805664062 × 32768)
    floor (14424.5)     		tx = 14424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340164184570312 × 215)
    floor (0.340164184570312 × 32768)
    floor (11146.5)     		ty = 11146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14424 / 11146 ti = "15/14424/11146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14424/11146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14424 ÷ 215
    14424 ÷ 32768     		x = 0.440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11146 ÷ 215
    11146 ÷ 32768     		y = 0.34014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.11962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37582529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34014892578125 × 2 - 1) × π
    0.3197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00437392083942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37582529} λ = -0.37582529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00437392083942))-π/2
    2×atan(2.73019741792188)-π/2
    2×1.21969781422288-π/2
    2.43939562844577-1.57079632675     		φ = 0.86859930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37582529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86859930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.767074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14424 KachelY 11146 -0.37582529 0.86859930 -21.533203 49.767074
    Oben rechts KachelX + 1 14425 KachelY 11146 -0.37563355 0.86859930 -21.522217 49.767074
    Unten links KachelX 14424 KachelY + 1 11147 -0.37582529 0.86847544 -21.533203 49.759977
    Unten rechts KachelX + 1 14425 KachelY + 1 11147 -0.37563355 0.86847544 -21.522217 49.759977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86859930-0.86847544) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dl = 789.112059999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86859930-0.86847544) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dr = 789.112059999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37582529--0.37563355) × cos(0.86859930) × R
    0.000191739999999996 × 0.645896509870014 × 6371000     		do = 789.011377828561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37582529--0.37563355) × cos(0.86847544) × R
    0.000191739999999996 × 0.645991062733224 × 6371000     		du = 789.126881293494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86859930)-sin(0.86847544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645896509870014-0.645991062733224)×R²
    abs(-0.37563355--0.37582529)×9.45528632092518e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45528632092518e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45528632092518e-05×40589641000000     		ar = 622663.967105836m²