Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14423 / 9589
↖ ↑ ↗
← N 59.595536°
W 21.544189°		 ← 618.27 m → N 59.595536°
W 21.533203°		 →
↑
618.31 m
↓
↑
618.31 m
↓
N 59.589975°
W 21.544189°		 ← 618.38 m →
382 313 m²		 N 59.589975°
W 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440170288085938 y=0.292648315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440170288085938 × 215)
    floor (0.440170288085938 × 32768)
    floor (14423.5)     		tx = 14423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292648315429688 × 215)
    floor (0.292648315429688 × 32768)
    floor (9589.5)     		ty = 9589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14423 / 9589 ti = "15/14423/9589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14423/9589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14423 ÷ 215
    14423 ÷ 32768     		x = 0.440155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9589 ÷ 215
    9589 ÷ 32768     		y = 0.292633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.11968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37601704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292633056640625 × 2 - 1) × π
    0.41473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30292493167313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37601704} λ = -0.37601704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30292493167313))-π/2
    2×atan(3.68004482080456)-π/2
    2×1.3054673226285-π/2
    2.61093464525701-1.57079632675     		φ = 1.04013832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37601704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.544189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04013832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.595536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14423 KachelY 9589 -0.37601704 1.04013832 -21.544189 59.595536
    Oben rechts KachelX + 1 14424 KachelY 9589 -0.37582529 1.04013832 -21.533203 59.595536
    Unten links KachelX 14423 KachelY + 1 9590 -0.37601704 1.04004127 -21.544189 59.589975
    Unten rechts KachelX + 1 14424 KachelY + 1 9590 -0.37582529 1.04004127 -21.533203 59.589975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04013832-1.04004127) × R
    9.7050000000154e-05 × 6371000     		dl = 618.305550000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04013832-1.04004127) × R
    9.7050000000154e-05 × 6371000     		dr = 618.305550000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37601704--0.37582529) × cos(1.04013832) × R
    0.000191750000000046 × 0.506100964637836 × 6371000     		do = 618.272802864592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37601704--0.37582529) × cos(1.04004127) × R
    0.000191750000000046 × 0.50618466537923 × 6371000     		du = 618.375054975532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04013832)-sin(1.04004127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506100964637836-0.50618466537923)×R²
    abs(-0.37582529--0.37601704)×8.37007413933e-05×R²
    0.000191750000000046×8.37007413933e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.37007413933e-05×40589641000000     		ar = 382313.117250103m²