Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14420 / 9571
↖ ↑ ↗
← N 59.695471°
W 21.577148°		 ← 616.40 m → N 59.695471°
W 21.566162°		 →
↑
616.52 m
↓
↑
616.52 m
↓
N 59.689926°
W 21.577148°		 ← 616.50 m →
380 057 m²		 N 59.689926°
W 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440078735351562 y=0.292098999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440078735351562 × 215)
    floor (0.440078735351562 × 32768)
    floor (14420.5)     		tx = 14420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292098999023438 × 215)
    floor (0.292098999023438 × 32768)
    floor (9571.5)     		ty = 9571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14420 / 9571 ti = "15/14420/9571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14420/9571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14420 ÷ 215
    14420 ÷ 32768     		x = 0.4400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9571 ÷ 215
    9571 ÷ 32768     		y = 0.292083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292083740234375 × 2 - 1) × π
    0.41583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30637638844577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37659228} λ = -0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30637638844577))-π/2
    2×atan(3.69276828103071)-π/2
    2×1.30633941632365-π/2
    2.6126788326473-1.57079632675     		φ = 1.04188251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04188251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.695471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14420 KachelY 9571 -0.37659228 1.04188251 -21.577148 59.695471
    Oben rechts KachelX + 1 14421 KachelY 9571 -0.37640054 1.04188251 -21.566162 59.695471
    Unten links KachelX 14420 KachelY + 1 9572 -0.37659228 1.04178574 -21.577148 59.689926
    Unten rechts KachelX + 1 14421 KachelY + 1 9572 -0.37640054 1.04178574 -21.566162 59.689926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04188251-1.04178574) × R
    9.67700000000793e-05 × 6371000     		dl = 616.521670000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04188251-1.04178574) × R
    9.67700000000793e-05 × 6371000     		dr = 616.521670000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37659228--0.37640054) × cos(1.04188251) × R
    0.000191739999999996 × 0.504595876627326 × 6371000     		do = 616.401980472786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37659228--0.37640054) × cos(1.04178574) × R
    0.000191739999999996 × 0.504679421192103 × 6371000     		du = 616.504036469617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04188251)-sin(1.04178574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504595876627326-0.504679421192103)×R²
    abs(-0.37640054--0.37659228)×8.35445647766608e-05×R²
    0.000191739999999996×8.35445647766608e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.35445647766608e-05×40589641000000     		ar = 380056.638556274m²