Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14420 / 9563
↖ ↑ ↗
← N 59.739790°
W 21.577148°		 ← 615.59 m → N 59.739790°
W 21.566162°		 →
↑
615.63 m
↓
↑
615.63 m
↓
N 59.734254°
W 21.577148°		 ← 615.69 m →
379 004 m²		 N 59.734254°
W 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440078735351562 y=0.291854858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440078735351562 × 215)
    floor (0.440078735351562 × 32768)
    floor (14420.5)     		tx = 14420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291854858398438 × 215)
    floor (0.291854858398438 × 32768)
    floor (9563.5)     		ty = 9563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14420 / 9563 ti = "15/14420/9563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14420/9563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14420 ÷ 215
    14420 ÷ 32768     		x = 0.4400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9563 ÷ 215
    9563 ÷ 32768     		y = 0.291839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291839599609375 × 2 - 1) × π
    0.41632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30791036923361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37659228} λ = -0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30791036923361))-π/2
    2×atan(3.69843726357127)-π/2
    2×1.30672618031194-π/2
    2.61345236062387-1.57079632675     		φ = 1.04265603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04265603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.739790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14420 KachelY 9563 -0.37659228 1.04265603 -21.577148 59.739790
    Oben rechts KachelX + 1 14421 KachelY 9563 -0.37640054 1.04265603 -21.566162 59.739790
    Unten links KachelX 14420 KachelY + 1 9564 -0.37659228 1.04255940 -21.577148 59.734254
    Unten rechts KachelX + 1 14421 KachelY + 1 9564 -0.37640054 1.04255940 -21.566162 59.734254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04265603-1.04255940) × R
    9.6630000000042e-05 × 6371000     		dl = 615.629730000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04265603-1.04255940) × R
    9.6630000000042e-05 × 6371000     		dr = 615.629730000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37659228--0.37640054) × cos(1.04265603) × R
    0.000191739999999996 × 0.503927902863052 × 6371000     		do = 615.586000060986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37659228--0.37640054) × cos(1.04255940) × R
    0.000191739999999996 × 0.504011364259162 × 6371000     		du = 615.687954461009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04265603)-sin(1.04255940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503927902863052-0.504011364259162)×R²
    abs(-0.37640054--0.37659228)×8.34613961105957e-05×R²
    0.000191739999999996×8.34613961105957e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.34613961105957e-05×40589641000000     		ar = 379004.426384706m²