Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14420 / 21172
↖ ↑ ↗
← S 46.468133°
W 21.577148°		 ← 841.37 m → S 46.468133°
W 21.566162°		 →
↑
841.35 m
↓
↑
841.35 m
↓
S 46.475700°
W 21.577148°		 ← 841.25 m →
707 841 m²		 S 46.475700°
W 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440078735351562 y=0.646133422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440078735351562 × 215)
    floor (0.440078735351562 × 32768)
    floor (14420.5)     		tx = 14420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646133422851562 × 215)
    floor (0.646133422851562 × 32768)
    floor (21172.5)     		ty = 21172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14420 / 21172 ti = "15/14420/21172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14420/21172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14420 ÷ 215
    14420 ÷ 32768     		x = 0.4400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21172 ÷ 215
    21172 ÷ 32768     		y = 0.6461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918087501523315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37659228} λ = -0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918087501523315))-π/2
    2×atan(0.399281937430033)-π/2
    2×0.379887204422626-π/2
    0.759774408845252-1.57079632675     		φ = -0.81102192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81102192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.468133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14420 KachelY 21172 -0.37659228 -0.81102192 -21.577148 -46.468133
    Oben rechts KachelX + 1 14421 KachelY 21172 -0.37640054 -0.81102192 -21.566162 -46.468133
    Unten links KachelX 14420 KachelY + 1 21173 -0.37659228 -0.81115398 -21.577148 -46.475700
    Unten rechts KachelX + 1 14421 KachelY + 1 21173 -0.37640054 -0.81115398 -21.566162 -46.475700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81102192--0.81115398) × R
    0.0001320600000001 × 6371000     		dl = 841.35426000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81102192--0.81115398) × R
    0.0001320600000001 × 6371000     		dr = 841.35426000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37659228--0.37640054) × cos(-0.81102192) × R
    0.000191739999999996 × 0.688757909502705 × 6371000     		do = 841.369815230019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37659228--0.37640054) × cos(-0.81115398) × R
    0.000191739999999996 × 0.688662161131689 × 6371000     		du = 841.252851361991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81102192)-sin(-0.81115398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688757909502705-0.688662161131689)×R²
    abs(-0.37640054--0.37659228)×9.57483710158913e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57483710158913e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57483710158913e-05×40589641000000     		ar = 707840.875284721m²