Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14419 / 14350
↖ ↑ ↗
← N 70.587069°
W100.794067°		 ← 203.01 m → N 70.587069°
W100.788574°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 70.585243°
W100.794067°		 ← 203.03 m →
41 222 m²		 N 70.585243°
W100.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220024108886719 y=0.218971252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220024108886719 × 216)
    floor (0.220024108886719 × 65536)
    floor (14419.5)     		tx = 14419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218971252441406 × 216)
    floor (0.218971252441406 × 65536)
    floor (14350.5)     		ty = 14350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14419 / 14350 ti = "16/14419/14350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14419/14350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14419 ÷ 216
    14419 ÷ 65536     		x = 0.220016479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14350 ÷ 216
    14350 ÷ 65536     		y = 0.218963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220016479492188 × 2 - 1) × π
    -0.559967041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75918834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218963623046875 × 2 - 1) × π
    0.56207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76580363440439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75918834} λ = -1.75918834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76580363440439))-π/2
    2×atan(5.84626873344033)-π/2
    2×1.40138654877251-π/2
    2.80277309754503-1.57079632675     		φ = 1.23197677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75918834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.794067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23197677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.587069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14419 KachelY 14350 -1.75918834 1.23197677 -100.794067 70.587069
    Oben rechts KachelX + 1 14420 KachelY 14350 -1.75909247 1.23197677 -100.788574 70.587069
    Unten links KachelX 14419 KachelY + 1 14351 -1.75918834 1.23194490 -100.794067 70.585243
    Unten rechts KachelX + 1 14420 KachelY + 1 14351 -1.75909247 1.23194490 -100.788574 70.585243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23197677-1.23194490) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23197677-1.23194490) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75918834--1.75909247) × cos(1.23197677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332373991712139 × 6371000     		do = 203.009969203851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75918834--1.75909247) × cos(1.23194490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332404049659618 × 6371000     		du = 203.028328230563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23197677)-sin(1.23194490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332373991712139-0.332404049659618)×R²
    abs(-1.75909247--1.75918834)×3.00579474794005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00579474794005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00579474794005e-05×40589641000000     		ar = 41221.773340814m²