Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14418 / 21714
↖ ↑ ↗
← S 50.415519°
W 21.599121°		 ← 778.45 m → S 50.415519°
W 21.588135°		 →
↑
778.35 m
↓
↑
778.35 m
↓
S 50.422519°
W 21.599121°		 ← 778.33 m →
605 856 m²		 S 50.422519°
W 21.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440017700195312 y=0.662673950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440017700195312 × 215)
    floor (0.440017700195312 × 32768)
    floor (14418.5)     		tx = 14418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662673950195312 × 215)
    floor (0.662673950195312 × 32768)
    floor (21714.5)     		ty = 21714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14418 / 21714 ti = "15/14418/21714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14418/21714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14418 ÷ 215
    14418 ÷ 32768     		x = 0.44000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21714 ÷ 215
    21714 ÷ 32768     		y = 0.66265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37697578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37697578} λ = -0.37697578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0220146998996))-π/2
    2×atan(0.35986918092235)-π/2
    2×0.345439765663729-π/2
    0.690879531327459-1.57079632675     		φ = -0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37697578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14418 KachelY 21714 -0.37697578 -0.87991680 -21.599121 -50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 14419 KachelY 21714 -0.37678403 -0.87991680 -21.588135 -50.415519
    Unten links KachelX 14418 KachelY + 1 21715 -0.37697578 -0.88003897 -21.599121 -50.422519
    Unten rechts KachelX + 1 14419 KachelY + 1 21715 -0.37678403 -0.88003897 -21.588135 -50.422519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87991680--0.88003897) × R
    0.000122169999999922 × 6371000     		dl = 778.3450699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87991680--0.88003897) × R
    0.000122169999999922 × 6371000     		dr = 778.3450699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37697578--0.37678403) × cos(-0.87991680) × R
    0.000191749999999991 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 778.447181438087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37697578--0.37678403) × cos(-0.88003897) × R
    0.000191749999999991 × 0.637121108020669 × 6371000     		du = 778.3321525615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87991680)-sin(-0.88003897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637121108020669)×R²
    abs(-0.37678403--0.37697578)×9.41594473050644e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41594473050644e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41594473050644e-05×40589641000000     		ar = 605855.760601363m²