Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14418 / 21436
↖ ↑ ↗
← S 48.429200°
W 21.599121°		 ← 810.61 m → S 48.429200°
W 21.588135°		 →
↑
810.58 m
↓
↑
810.58 m
↓
S 48.436490°
W 21.599121°		 ← 810.50 m →
657 021 m²		 S 48.436490°
W 21.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440017700195312 y=0.654190063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440017700195312 × 215)
    floor (0.440017700195312 × 32768)
    floor (14418.5)     		tx = 14418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654190063476562 × 215)
    floor (0.654190063476562 × 32768)
    floor (21436.5)     		ty = 21436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14418 / 21436 ti = "15/14418/21436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14418/21436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14418 ÷ 215
    14418 ÷ 32768     		x = 0.44000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21436 ÷ 215
    21436 ÷ 32768     		y = 0.6541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37697578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37697578} λ = -0.37697578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968708867522095))-π/2
    2×atan(0.379572800631833)-π/2
    2×0.362773661504966-π/2
    0.725547323009933-1.57079632675     		φ = -0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37697578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14418 KachelY 21436 -0.37697578 -0.84524900 -21.599121 -48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 14419 KachelY 21436 -0.37678403 -0.84524900 -21.588135 -48.429200
    Unten links KachelX 14418 KachelY + 1 21437 -0.37697578 -0.84537623 -21.599121 -48.436490
    Unten rechts KachelX + 1 14419 KachelY + 1 21437 -0.37678403 -0.84537623 -21.588135 -48.436490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84524900--0.84537623) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dl = 810.582329999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84524900--0.84537623) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dr = 810.582329999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37697578--0.37678403) × cos(-0.84524900) × R
    0.000191749999999991 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 810.612637038428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37697578--0.37678403) × cos(-0.84537623) × R
    0.000191749999999991 × 0.663449826346744 × 6371000     		du = 810.496348270826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84524900)-sin(-0.84537623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663449826346744)×R²
    abs(-0.37678403--0.37697578)×9.51907591394408e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51907591394408e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51907591394408e-05×40589641000000     		ar = 657021.150133701m²