Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14417 / 9574
↖ ↑ ↗
← N 59.678835°
W 21.610108°		 ← 616.74 m → N 59.678835°
W 21.599121°		 →
↑
616.78 m
↓
↑
616.78 m
↓
N 59.673289°
W 21.610108°		 ← 616.84 m →
380 422 m²		 N 59.673289°
W 21.599121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439987182617188 y=0.292190551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439987182617188 × 215)
    floor (0.439987182617188 × 32768)
    floor (14417.5)     		tx = 14417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292190551757812 × 215)
    floor (0.292190551757812 × 32768)
    floor (9574.5)     		ty = 9574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14417 / 9574 ti = "15/14417/9574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14417/9574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14417 ÷ 215
    14417 ÷ 32768     		x = 0.439971923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9574 ÷ 215
    9574 ÷ 32768     		y = 0.29217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.12005615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37716753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29217529296875 × 2 - 1) × π
    0.4156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30580114565033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37716753} λ = -0.37716753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30580114565033))-π/2
    2×atan(3.69064465354108)-π/2
    2×1.30619424770812-π/2
    2.61238849541623-1.57079632675     		φ = 1.04159217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37716753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.610108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04159217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.678835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14417 KachelY 9574 -0.37716753 1.04159217 -21.610108 59.678835
    Oben rechts KachelX + 1 14418 KachelY 9574 -0.37697578 1.04159217 -21.599121 59.678835
    Unten links KachelX 14417 KachelY + 1 9575 -0.37716753 1.04149536 -21.610108 59.673289
    Unten rechts KachelX + 1 14418 KachelY + 1 9575 -0.37697578 1.04149536 -21.599121 59.673289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04159217-1.04149536) × R
    9.68099999998362e-05 × 6371000     		dl = 616.776509998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04159217-1.04149536) × R
    9.68099999998362e-05 × 6371000     		dr = 616.776509998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37716753--0.37697578) × cos(1.04159217) × R
    0.000191749999999991 × 0.504846522039038 × 6371000     		do = 616.740326548848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37716753--0.37697578) × cos(1.04149536) × R
    0.000191749999999991 × 0.504930086948302 × 6371000     		du = 616.842412721928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04159217)-sin(1.04149536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504846522039038-0.504930086948302)×R²
    abs(-0.37697578--0.37716753)×8.35649092643109e-05×R²
    0.000191749999999991×8.35649092643109e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.35649092643109e-05×40589641000000     		ar = 380422.428658218m²