Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14417 / 10194
↖ ↑ ↗
← N 76.898219°
W100.805054°		 ← 138.45 m → N 76.898219°
W100.799561°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
N 76.896973°
W100.805054°		 ← 138.47 m →
19 178 m²		 N 76.896973°
W100.799561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219993591308594 y=0.155555725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219993591308594 × 216)
    floor (0.219993591308594 × 65536)
    floor (14417.5)     		tx = 14417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155555725097656 × 216)
    floor (0.155555725097656 × 65536)
    floor (10194.5)     		ty = 10194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14417 / 10194 ti = "16/14417/10194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14417/10194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14417 ÷ 216
    14417 ÷ 65536     		x = 0.219985961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10194 ÷ 216
    10194 ÷ 65536     		y = 0.155548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219985961914062 × 2 - 1) × π
    -0.560028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75938009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155548095703125 × 2 - 1) × π
    0.68890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1642551440463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75938009} λ = -1.75938009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1642551440463))-π/2
    2×atan(8.70811321060505)-π/2
    2×1.456461716532-π/2
    2.91292343306401-1.57079632675     		φ = 1.34212711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75938009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.805054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34212711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.898219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14417 KachelY 10194 -1.75938009 1.34212711 -100.805054 76.898219
    Oben rechts KachelX + 1 14418 KachelY 10194 -1.75928422 1.34212711 -100.799561 76.898219
    Unten links KachelX 14417 KachelY + 1 10195 -1.75938009 1.34210537 -100.805054 76.896973
    Unten rechts KachelX + 1 14418 KachelY + 1 10195 -1.75928422 1.34210537 -100.799561 76.896973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34212711-1.34210537) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34212711-1.34210537) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75938009--1.75928422) × cos(1.34212711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226681583159561 × 6371000     		do = 138.454338678095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75938009--1.75928422) × cos(1.34210537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226702757190342 × 6371000     		du = 138.467271517138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34212711)-sin(1.34210537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226681583159561-0.226702757190342)×R²
    abs(-1.75928422--1.75938009)×2.11740307816122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11740307816122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11740307816122e-05×40589641000000     		ar = 19177.5885794878m²