Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14415 / 21551
↖ ↑ ↗
← S 49.260635°
W 21.632080°		 ← 797.27 m → S 49.260635°
W 21.621094°		 →
↑
797.14 m
↓
↑
797.14 m
↓
S 49.267804°
W 21.632080°		 ← 797.15 m →
635 485 m²		 S 49.267804°
W 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439926147460938 y=0.657699584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439926147460938 × 215)
    floor (0.439926147460938 × 32768)
    floor (14415.5)     		tx = 14415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657699584960938 × 215)
    floor (0.657699584960938 × 32768)
    floor (21551.5)     		ty = 21551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14415 / 21551 ti = "15/14415/21551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14415/21551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14415 ÷ 215
    14415 ÷ 32768     		x = 0.439910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21551 ÷ 215
    21551 ÷ 32768     		y = 0.657684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.12017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37755102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.31536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.990759841347321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37755102} λ = -0.37755102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990759841347321))-π/2
    2×atan(0.371294458927893)-π/2
    2×0.355518025617512-π/2
    0.711036051235024-1.57079632675     		φ = -0.85976028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37755102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.632080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85976028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.260635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14415 KachelY 21551 -0.37755102 -0.85976028 -21.632080 -49.260635
    Oben rechts KachelX + 1 14416 KachelY 21551 -0.37735927 -0.85976028 -21.621094 -49.260635
    Unten links KachelX 14415 KachelY + 1 21552 -0.37755102 -0.85988540 -21.632080 -49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 14416 KachelY + 1 21552 -0.37735927 -0.85988540 -21.621094 -49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85976028--0.85988540) × R
    0.000125119999999979 × 6371000     		dl = 797.139519999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85976028--0.85988540) × R
    0.000125119999999979 × 6371000     		dr = 797.139519999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37755102--0.37735927) × cos(-0.85976028) × R
    0.000191749999999991 × 0.652619119435108 × 6371000     		do = 797.265131602327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37755102--0.37735927) × cos(-0.85988540) × R
    0.000191749999999991 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 797.149311896941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85976028)-sin(-0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652619119435108-0.652524312637287)×R²
    abs(-0.37735927--0.37755102)×9.48067978215894e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48067978215894e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48067978215894e-05×40589641000000     		ar = 635485.382915387m²