Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14415 / 14298
↖ ↑ ↗
← N 70.681787°
W100.816040°		 ← 202.08 m → N 70.681787°
W100.810547°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 70.679970°
W100.816040°		 ← 202.10 m →
40 840 m²		 N 70.679970°
W100.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219963073730469 y=0.218177795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219963073730469 × 216)
    floor (0.219963073730469 × 65536)
    floor (14415.5)     		tx = 14415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218177795410156 × 216)
    floor (0.218177795410156 × 65536)
    floor (14298.5)     		ty = 14298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14415 / 14298 ti = "16/14415/14298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14415/14298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14415 ÷ 216
    14415 ÷ 65536     		x = 0.219955444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14298 ÷ 216
    14298 ÷ 65536     		y = 0.218170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219955444335938 × 2 - 1) × π
    -0.560089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75957184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218170166015625 × 2 - 1) × π
    0.56365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77078907196487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75957184} λ = -1.75957184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77078907196487))-π/2
    2×atan(5.8754877153589)-π/2
    2×1.40221311849427-π/2
    2.80442623698854-1.57079632675     		φ = 1.23362991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75957184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23362991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.681787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14415 KachelY 14298 -1.75957184 1.23362991 -100.816040 70.681787
    Oben rechts KachelX + 1 14416 KachelY 14298 -1.75947596 1.23362991 -100.810547 70.681787
    Unten links KachelX 14415 KachelY + 1 14299 -1.75957184 1.23359819 -100.816040 70.679970
    Unten rechts KachelX + 1 14416 KachelY + 1 14299 -1.75947596 1.23359819 -100.810547 70.679970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23362991-1.23359819) × R
    3.17200000001794e-05 × 6371000     		dl = 202.088120001143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23362991-1.23359819) × R
    3.17200000001794e-05 × 6371000     		dr = 202.088120001143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75957184--1.75947596) × cos(1.23362991) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330814383113521 × 6371000     		do = 202.078455530049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75957184--1.75947596) × cos(1.23359819) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330844316979228 × 6371000     		du = 202.096740676218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23362991)-sin(1.23359819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330814383113521-0.330844316979228)×R²
    abs(-1.75947596--1.75957184)×2.9933865706433e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9933865706433e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9933865706433e-05×40589641000000     		ar = 40839.5027795029m²