Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14413 / 21438
↖ ↑ ↗
← S 48.443778°
W 21.654053°		 ← 810.38 m → S 48.443778°
W 21.643066°		 →
↑
810.33 m
↓
↑
810.33 m
↓
S 48.451066°
W 21.654053°		 ← 810.26 m →
656 626 m²		 S 48.451066°
W 21.643066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439865112304688 y=0.654251098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439865112304688 × 215)
    floor (0.439865112304688 × 32768)
    floor (14413.5)     		tx = 14413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654251098632812 × 215)
    floor (0.654251098632812 × 32768)
    floor (21438.5)     		ty = 21438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14413 / 21438 ti = "15/14413/21438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14413/21438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14413 ÷ 215
    14413 ÷ 32768     		x = 0.439849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21438 ÷ 215
    21438 ÷ 32768     		y = 0.65423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.12030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37793452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37793452} λ = -0.37793452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969092362719055))-π/2
    2×atan(0.37942726419394)-π/2
    2×0.362646446593647-π/2
    0.725292893187293-1.57079632675     		φ = -0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37793452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.654053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14413 KachelY 21438 -0.37793452 -0.84550343 -21.654053 -48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 14414 KachelY 21438 -0.37774277 -0.84550343 -21.643066 -48.443778
    Unten links KachelX 14413 KachelY + 1 21439 -0.37793452 -0.84563062 -21.654053 -48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 14414 KachelY + 1 21439 -0.37774277 -0.84563062 -21.643066 -48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84550343--0.84563062) × R
    0.000127190000000055 × 6371000     		dl = 810.327490000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84550343--0.84563062) × R
    0.000127190000000055 × 6371000     		dr = 810.327490000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37793452--0.37774277) × cos(-0.84550343) × R
    0.000191749999999991 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 810.380073808105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37793452--0.37774277) × cos(-0.84563062) × R
    0.000191749999999991 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 810.263795376184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84550343)-sin(-0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663259464998546)×R²
    abs(-0.37774277--0.37793452)×9.5182298637364e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5182298637364e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5182298637364e-05×40589641000000     		ar = 656626.140235108m²